Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65713 / 48307
↖ ↑ ↗
← N 42.708678°
E  0.486145°		 ← 224.43 m → N 42.708678°
E  0.488892°		 →
↑
224.45 m
↓
↑
224.45 m
↓
N 42.706659°
E  0.486145°		 ← 224.44 m →
50 374 m²		 N 42.706659°
E  0.488892°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65713 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48307 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501354217529297 y=0.368556976318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501354217529297 × 217)
    floor (0.501354217529297 × 131072)
    floor (65713.5)     		tx = 65713
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.368556976318359 × 217)
    floor (0.368556976318359 × 131072)
    floor (48307.5)     		ty = 48307
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65713 / 48307 ti = "17/65713/48307"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65713/48307.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65713 ÷ 217
    65713 ÷ 131072     		x = 0.501350402832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48307 ÷ 217
    48307 ÷ 131072     		y = 0.368553161621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501350402832031 × 2 - 1) × π
    0.0027008056640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.00848483
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.368553161621094 × 2 - 1) × π
    0.262893676757812 × 3.1415926535     		Φ = 0.825904843553947
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00848483} λ = 0.00848483}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.825904843553947))-π/2
    2×atan(2.28394644484815)-π/2
    2×1.15810168693244-π/2
    2.31620337386487-1.57079632675     		φ = 0.74540705
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00848483} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.486145°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74540705 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.708678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65713 KachelY 48307 0.00848483 0.74540705 0.486145 42.708678
    Oben rechts KachelX + 1 65714 KachelY 48307 0.00853277 0.74540705 0.488892 42.708678
    Unten links KachelX 65713 KachelY + 1 48308 0.00848483 0.74537182 0.486145 42.706659
    Unten rechts KachelX + 1 65714 KachelY + 1 48308 0.00853277 0.74537182 0.488892 42.706659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74540705-0.74537182) × R
    3.52299999999417e-05 × 6371000     		dl = 224.450329999629m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74540705-0.74537182) × R
    3.52299999999417e-05 × 6371000     		dr = 224.450329999629m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00848483-0.00853277) × cos(0.74540705) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.734811873065269 × 6371000     		do = 224.430460091745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00848483-0.00853277) × cos(0.74537182) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.734835768095594 × 6371000     		du = 224.437758249064m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74540705)-sin(0.74537182))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734811873065269-0.734835768095594)×R²
    abs(0.00853277-0.00848483)×2.38950303249608e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.38950303249608e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.38950303249608e-05×40589641000000     		ar = 50374.3098716685m²