Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65706 / 48251
↖ ↑ ↗
← N 42.821595°
E  0.466919°		 ← 224.02 m → N 42.821595°
E  0.469666°		 →
↑
224 m
↓
↑
224 m
↓
N 42.819581°
E  0.466919°		 ← 224.03 m →
50 183 m²		 N 42.819581°
E  0.469666°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48251 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501300811767578 y=0.368129730224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501300811767578 × 217)
    floor (0.501300811767578 × 131072)
    floor (65706.5)     		tx = 65706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.368129730224609 × 217)
    floor (0.368129730224609 × 131072)
    floor (48251.5)     		ty = 48251
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65706 / 48251 ti = "17/65706/48251"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65706/48251.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65706 ÷ 217
    65706 ÷ 131072     		x = 0.501296997070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48251 ÷ 217
    48251 ÷ 131072     		y = 0.368125915527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501296997070312 × 2 - 1) × π
    0.002593994140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.00814927
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.368125915527344 × 2 - 1) × π
    0.263748168945312 × 3.1415926535     		Φ = 0.828589309932671
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00814927} λ = 0.00814927}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.828589309932671))-π/2
    2×atan(2.29008585912886)-π/2
    2×1.15908707781039-π/2
    2.31817415562078-1.57079632675     		φ = 0.74737783
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00814927} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.466919°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74737783 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.821595°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65706 KachelY 48251 0.00814927 0.74737783 0.466919 42.821595
    Oben rechts KachelX + 1 65707 KachelY 48251 0.00819721 0.74737783 0.469666 42.821595
    Unten links KachelX 65706 KachelY + 1 48252 0.00814927 0.74734267 0.466919 42.819581
    Unten rechts KachelX + 1 65707 KachelY + 1 48252 0.00819721 0.74734267 0.469666 42.819581
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74737783-0.74734267) × R
    3.51600000000341e-05 × 6371000     		dl = 224.004360000217m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74737783-0.74734267) × R
    3.51600000000341e-05 × 6371000     		dr = 224.004360000217m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00814927-0.00819721) × cos(0.74737783) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.733473724070169 × 6371000     		do = 224.021754944686m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00814927-0.00819721) × cos(0.74734267) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.733497622494861 × 6371000     		du = 224.029054138733m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74737783)-sin(0.74734267))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.733473724070169-0.733497622494861)×R²
    abs(0.00819721-0.00814927)×2.38984246925256e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.38984246925256e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.38984246925256e-05×40589641000000     		ar = 50182.6673733063m²