Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65693 / 43129
↖ ↑ ↗
← N 52.279921°
E  0.431213°		 ← 186.86 m → N 52.279921°
E  0.433960°		 →
↑
186.86 m
↓
↑
186.86 m
↓
N 52.278241°
E  0.431213°		 ← 186.87 m →
34 918 m²		 N 52.278241°
E  0.433960°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65693 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43129 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501201629638672 y=0.329051971435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501201629638672 × 217)
    floor (0.501201629638672 × 131072)
    floor (65693.5)     		tx = 65693
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329051971435547 × 217)
    floor (0.329051971435547 × 131072)
    floor (43129.5)     		ty = 43129
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65693 / 43129 ti = "17/65693/43129"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65693/43129.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65693 ÷ 217
    65693 ÷ 131072     		x = 0.501197814941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43129 ÷ 217
    43129 ÷ 131072     		y = 0.329048156738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501197814941406 × 2 - 1) × π
    0.0023956298828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.00752609
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329048156738281 × 2 - 1) × π
    0.341903686523438 × 3.1415926535     		Φ = 1.0741221097866
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00752609} λ = 0.00752609}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0741221097866))-π/2
    2×atan(2.92742181717057)-π/2
    2×1.24162654507334-π/2
    2.48325309014668-1.57079632675     		φ = 0.91245676
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00752609} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.431213°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91245676 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.279921°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65693 KachelY 43129 0.00752609 0.91245676 0.431213 52.279921
    Oben rechts KachelX + 1 65694 KachelY 43129 0.00757403 0.91245676 0.433960 52.279921
    Unten links KachelX 65693 KachelY + 1 43130 0.00752609 0.91242743 0.431213 52.278241
    Unten rechts KachelX + 1 65694 KachelY + 1 43130 0.00757403 0.91242743 0.433960 52.278241
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91245676-0.91242743) × R
    2.93299999999386e-05 × 6371000     		dl = 186.861429999609m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91245676-0.91242743) × R
    2.93299999999386e-05 × 6371000     		dr = 186.861429999609m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00752609-0.00757403) × cos(0.91245676) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.611804278050063 × 6371000     		do = 186.860774358605m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00752609-0.00757403) × cos(0.91242743) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.611827478086204 × 6371000     		du = 186.867860246812m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91245676)-sin(0.91242743))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611804278050063-0.611827478086204)×R²
    abs(0.00757403-0.00752609)×2.3200036140647e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.3200036140647e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.3200036140647e-05×40589641000000     		ar = 34917.7335494981m²