Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65680 / 46224
↖ ↑ ↗
← N 46.769968°
E  0.395508°		 ← 209.19 m → N 46.769968°
E  0.398254°		 →
↑
209.16 m
↓
↑
209.16 m
↓
N 46.768087°
E  0.395508°		 ← 209.20 m →
43 756 m²		 N 46.768087°
E  0.398254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65680 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501102447509766 y=0.352664947509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501102447509766 × 217)
    floor (0.501102447509766 × 131072)
    floor (65680.5)     		tx = 65680
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352664947509766 × 217)
    floor (0.352664947509766 × 131072)
    floor (46224.5)     		ty = 46224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65680 / 46224 ti = "17/65680/46224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65680/46224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65680 ÷ 217
    65680 ÷ 131072     		x = 0.5010986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46224 ÷ 217
    46224 ÷ 131072     		y = 0.3526611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5010986328125 × 2 - 1) × π
    0.002197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.00690291
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3526611328125 × 2 - 1) × π
    0.294677734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.925757405462524
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00690291} λ = 0.00690291}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.925757405462524))-π/2
    2×atan(2.52377906068827)-π/2
    2×1.19354313349819-π/2
    2.38708626699638-1.57079632675     		φ = 0.81628994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00690291} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.395508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81628994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.769968°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65680 KachelY 46224 0.00690291 0.81628994 0.395508 46.769968
    Oben rechts KachelX + 1 65681 KachelY 46224 0.00695085 0.81628994 0.398254 46.769968
    Unten links KachelX 65680 KachelY + 1 46225 0.00690291 0.81625711 0.395508 46.768087
    Unten rechts KachelX + 1 65681 KachelY + 1 46225 0.00695085 0.81625711 0.398254 46.768087
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81628994-0.81625711) × R
    3.28299999999837e-05 × 6371000     		dl = 209.159929999896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81628994-0.81625711) × R
    3.28299999999837e-05 × 6371000     		dr = 209.159929999896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00690291-0.00695085) × cos(0.81628994) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.684929100734778 × 6371000     		do = 209.194977439453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00690291-0.00695085) × cos(0.81625711) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.684953020622835 × 6371000     		du = 209.202283188964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81628994)-sin(0.81625711))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.684929100734778-0.684953020622835)×R²
    abs(0.00695085-0.00690291)×2.39198880569447e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.39198880569447e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.39198880569447e-05×40589641000000     		ar = 43755.9708763804m²