Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65680 / 45968
↖ ↑ ↗
← N 47.249407°
E  0.395508°		 ← 207.33 m → N 47.249407°
E  0.398254°		 →
↑
207.31 m
↓
↑
207.31 m
↓
N 47.247542°
E  0.395508°		 ← 207.33 m →
42 982 m²		 N 47.247542°
E  0.398254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65680 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45968 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501102447509766 y=0.350711822509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501102447509766 × 217)
    floor (0.501102447509766 × 131072)
    floor (65680.5)     		tx = 65680
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350711822509766 × 217)
    floor (0.350711822509766 × 131072)
    floor (45968.5)     		ty = 45968
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65680 / 45968 ti = "17/65680/45968"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65680/45968.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65680 ÷ 217
    65680 ÷ 131072     		x = 0.5010986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45968 ÷ 217
    45968 ÷ 131072     		y = 0.3507080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5010986328125 × 2 - 1) × π
    0.002197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.00690291
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3507080078125 × 2 - 1) × π
    0.298583984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.938029251765259
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00690291} λ = 0.00690291}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.938029251765259))-π/2
    2×atan(2.55494130749415)-π/2
    2×1.19772702390328-π/2
    2.39545404780657-1.57079632675     		φ = 0.82465772
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00690291} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.395508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82465772 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.249407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65680 KachelY 45968 0.00690291 0.82465772 0.395508 47.249407
    Oben rechts KachelX + 1 65681 KachelY 45968 0.00695085 0.82465772 0.398254 47.249407
    Unten links KachelX 65680 KachelY + 1 45969 0.00690291 0.82462518 0.395508 47.247542
    Unten rechts KachelX + 1 65681 KachelY + 1 45969 0.00695085 0.82462518 0.398254 47.247542
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82465772-0.82462518) × R
    3.25400000000808e-05 × 6371000     		dl = 207.312340000515m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82465772-0.82462518) × R
    3.25400000000808e-05 × 6371000     		dr = 207.312340000515m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00690291-0.00695085) × cos(0.82465772) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.678808346885465 × 6371000     		do = 207.325541665669m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00690291-0.00695085) × cos(0.82462518) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.67883224115189 × 6371000     		du = 207.332839589674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82465772)-sin(0.82462518))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.678808346885465-0.67883224115189)×R²
    abs(0.00695085-0.00690291)×2.38942664257946e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.38942664257946e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.38942664257946e-05×40589641000000     		ar = 42981.899663332m²