Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65673 / 48286
↖ ↑ ↗
← N 42.751046°
E  0.376282°		 ← 224.23 m → N 42.751046°
E  0.379028°		 →
↑
224.26 m
↓
↑
224.26 m
↓
N 42.749029°
E  0.376282°		 ← 224.24 m →
50 287 m²		 N 42.749029°
E  0.379028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65673 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48286 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501049041748047 y=0.368396759033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501049041748047 × 217)
    floor (0.501049041748047 × 131072)
    floor (65673.5)     		tx = 65673
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.368396759033203 × 217)
    floor (0.368396759033203 × 131072)
    floor (48286.5)     		ty = 48286
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65673 / 48286 ti = "17/65673/48286"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65673/48286.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65673 ÷ 217
    65673 ÷ 131072     		x = 0.501045227050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48286 ÷ 217
    48286 ÷ 131072     		y = 0.368392944335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501045227050781 × 2 - 1) × π
    0.0020904541015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.00656736
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.368392944335938 × 2 - 1) × π
    0.263214111328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.826911518445969
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00656736} λ = 0.00656736}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.826911518445969))-π/2
    2×atan(2.28624679404653)-π/2
    2×1.15847141899063-π/2
    2.31694283798125-1.57079632675     		φ = 0.74614651
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00656736} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.376282°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74614651 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.751046°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65673 KachelY 48286 0.00656736 0.74614651 0.376282 42.751046
    Oben rechts KachelX + 1 65674 KachelY 48286 0.00661529 0.74614651 0.379028 42.751046
    Unten links KachelX 65673 KachelY + 1 48287 0.00656736 0.74611131 0.376282 42.749029
    Unten rechts KachelX + 1 65674 KachelY + 1 48287 0.00661529 0.74611131 0.379028 42.749029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74614651-0.74611131) × R
    3.5200000000013e-05 × 6371000     		dl = 224.259200000083m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74614651-0.74611131) × R
    3.5200000000013e-05 × 6371000     		dr = 224.259200000083m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00656736-0.00661529) × cos(0.74614651) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.734310117960204 × 6371000     		do = 224.230428269867m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00656736-0.00661529) × cos(0.74611131) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.73433401176337 × 6371000     		du = 224.237724530106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74614651)-sin(0.74611131))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734310117960204-0.73433401176337)×R²
    abs(0.00661529-0.00656736)×2.38938031661418e-05×R²
    4.79299999999998e-05×2.38938031661418e-05×6371000²
    4.79299999999998e-05×2.38938031661418e-05×40589641000000     		ar = 50286.5545912159m²