Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65667 / 48259
↖ ↑ ↗
← N 42.805477°
E  0.359802°		 ← 224.08 m → N 42.805477°
E  0.362549°		 →
↑
224.07 m
↓
↑
224.07 m
↓
N 42.803462°
E  0.359802°		 ← 224.09 m →
50 210 m²		 N 42.803462°
E  0.362549°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65667 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48259 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501003265380859 y=0.368190765380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501003265380859 × 217)
    floor (0.501003265380859 × 131072)
    floor (65667.5)     		tx = 65667
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.368190765380859 × 217)
    floor (0.368190765380859 × 131072)
    floor (48259.5)     		ty = 48259
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65667 / 48259 ti = "17/65667/48259"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65667/48259.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65667 ÷ 217
    65667 ÷ 131072     		x = 0.500999450683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48259 ÷ 217
    48259 ÷ 131072     		y = 0.368186950683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500999450683594 × 2 - 1) × π
    0.0019989013671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.00627973
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.368186950683594 × 2 - 1) × π
    0.263626098632812 × 3.1415926535     		Φ = 0.82820581473571
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00627973} λ = 0.00627973}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.82820581473571))-π/2
    2×atan(2.28920779057955)-π/2
    2×1.15894641765491-π/2
    2.31789283530983-1.57079632675     		φ = 0.74709651
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00627973} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.359802°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74709651 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.805477°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65667 KachelY 48259 0.00627973 0.74709651 0.359802 42.805477
    Oben rechts KachelX + 1 65668 KachelY 48259 0.00632767 0.74709651 0.362549 42.805477
    Unten links KachelX 65667 KachelY + 1 48260 0.00627973 0.74706134 0.359802 42.803462
    Unten rechts KachelX + 1 65668 KachelY + 1 48260 0.00632767 0.74706134 0.362549 42.803462
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74709651-0.74706134) × R
    3.51699999999733e-05 × 6371000     		dl = 224.06806999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74709651-0.74706134) × R
    3.51699999999733e-05 × 6371000     		dr = 224.06806999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00627973-0.00632767) × cos(0.74709651) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.733664913256993 × 6371000     		do = 224.080149043552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00627973-0.00632767) × cos(0.74706134) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.733688811220534 × 6371000     		du = 224.087448096751m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74709651)-sin(0.74706134))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.733664913256993-0.733688811220534)×R²
    abs(0.00632767-0.00627973)×2.38979635415193e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.38979635415193e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.38979635415193e-05×40589641000000     		ar = 50210.0242690735m²