Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65667 / 48257
↖ ↑ ↗
← N 42.809507°
E  0.359802°		 ← 224.07 m → N 42.809507°
E  0.362549°		 →
↑
224.07 m
↓
↑
224.07 m
↓
N 42.807492°
E  0.359802°		 ← 224.07 m →
50 207 m²		 N 42.807492°
E  0.362549°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65667 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48257 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501003265380859 y=0.368175506591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501003265380859 × 217)
    floor (0.501003265380859 × 131072)
    floor (65667.5)     		tx = 65667
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.368175506591797 × 217)
    floor (0.368175506591797 × 131072)
    floor (48257.5)     		ty = 48257
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65667 / 48257 ti = "17/65667/48257"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65667/48257.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65667 ÷ 217
    65667 ÷ 131072     		x = 0.500999450683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48257 ÷ 217
    48257 ÷ 131072     		y = 0.368171691894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500999450683594 × 2 - 1) × π
    0.0019989013671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.00627973
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.368171691894531 × 2 - 1) × π
    0.263656616210938 × 3.1415926535     		Φ = 0.82830168853495
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00627973} λ = 0.00627973}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.82830168853495))-π/2
    2×atan(2.28942727614897)-π/2
    2×1.15898158613066-π/2
    2.31796317226131-1.57079632675     		φ = 0.74716685
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00627973} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.359802°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74716685 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.809507°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65667 KachelY 48257 0.00627973 0.74716685 0.359802 42.809507
    Oben rechts KachelX + 1 65668 KachelY 48257 0.00632767 0.74716685 0.362549 42.809507
    Unten links KachelX 65667 KachelY + 1 48258 0.00627973 0.74713168 0.359802 42.807492
    Unten rechts KachelX + 1 65668 KachelY + 1 48258 0.00632767 0.74713168 0.362549 42.807492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74716685-0.74713168) × R
    3.51700000000843e-05 × 6371000     		dl = 224.068070000537m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74716685-0.74713168) × R
    3.51700000000843e-05 × 6371000     		dr = 224.068070000537m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00627973-0.00632767) × cos(0.74716685) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.733617114607465 × 6371000     		do = 224.065550105649m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00627973-0.00632767) × cos(0.74713168) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.73364101438596 × 6371000     		du = 224.072849713181m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74716685)-sin(0.74713168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.733617114607465-0.73364101438596)×R²
    abs(0.00632767-0.00627973)×2.3899778494596e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.3899778494596e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.3899778494596e-05×40589641000000     		ar = 50206.7531754618m²