Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65664 / 48258
↖ ↑ ↗
← N 42.807492°
E  0.351562°		 ← 224.07 m → N 42.807492°
E  0.354309°		 →
↑
224.07 m
↓
↑
224.07 m
↓
N 42.805477°
E  0.351562°		 ← 224.08 m →
50 208 m²		 N 42.805477°
E  0.354309°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48258 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500980377197266 y=0.368183135986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500980377197266 × 217)
    floor (0.500980377197266 × 131072)
    floor (65664.5)     		tx = 65664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.368183135986328 × 217)
    floor (0.368183135986328 × 131072)
    floor (48258.5)     		ty = 48258
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65664 / 48258 ti = "17/65664/48258"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65664/48258.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65664 ÷ 217
    65664 ÷ 131072     		x = 0.5009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48258 ÷ 217
    48258 ÷ 131072     		y = 0.368179321289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5009765625 × 2 - 1) × π
    0.001953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.00613592
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.368179321289062 × 2 - 1) × π
    0.263641357421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.82825375163533
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00613592} λ = 0.00613592}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.82825375163533))-π/2
    2×atan(2.2893175307339)-π/2
    2×1.15896400217919-π/2
    2.31792800435838-1.57079632675     		φ = 0.74713168
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00613592} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.351562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74713168 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.807492°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65664 KachelY 48258 0.00613592 0.74713168 0.351562 42.807492
    Oben rechts KachelX + 1 65665 KachelY 48258 0.00618386 0.74713168 0.354309 42.807492
    Unten links KachelX 65664 KachelY + 1 48259 0.00613592 0.74709651 0.351562 42.805477
    Unten rechts KachelX + 1 65665 KachelY + 1 48259 0.00618386 0.74709651 0.354309 42.805477
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74713168-0.74709651) × R
    3.51699999999733e-05 × 6371000     		dl = 224.06806999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74713168-0.74709651) × R
    3.51699999999733e-05 × 6371000     		dr = 224.06806999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00613592-0.00618386) × cos(0.74713168) × R
    4.79400000000007e-05 × 0.73364101438596 × 6371000     		do = 224.072849713186m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00613592-0.00618386) × cos(0.74709651) × R
    4.79400000000007e-05 × 0.733664913256993 × 6371000     		du = 224.080149043556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74713168)-sin(0.74709651))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73364101438596-0.733664913256993)×R²
    abs(0.00618386-0.00613592)×2.38988710329346e-05×R²
    4.79400000000007e-05×2.38988710329346e-05×6371000²
    4.79400000000007e-05×2.38988710329346e-05×40589641000000     		ar = 50208.3887532695m²