Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65662 / 43705
↖ ↑ ↗
← N 51.301428°
E  0.346069°		 ← 190.96 m → N 51.301428°
E  0.348816°		 →
↑
190.94 m
↓
↑
190.94 m
↓
N 51.299711°
E  0.346069°		 ← 190.97 m →
36 462 m²		 N 51.299711°
E  0.348816°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65662 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43705 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500965118408203 y=0.333446502685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500965118408203 × 217)
    floor (0.500965118408203 × 131072)
    floor (65662.5)     		tx = 65662
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333446502685547 × 217)
    floor (0.333446502685547 × 131072)
    floor (43705.5)     		ty = 43705
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65662 / 43705 ti = "17/65662/43705"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65662/43705.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65662 ÷ 217
    65662 ÷ 131072     		x = 0.500961303710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43705 ÷ 217
    43705 ÷ 131072     		y = 0.333442687988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500961303710938 × 2 - 1) × π
    0.001922607421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.00604005
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333442687988281 × 2 - 1) × π
    0.333114624023438 × 3.1415926535     		Φ = 1.04651045560545
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00604005} λ = 0.00604005}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04651045560545))-π/2
    2×atan(2.84769659609698)-π/2
    2×1.2330875787384-π/2
    2.46617515747679-1.57079632675     		φ = 0.89537883
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00604005} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.346069°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89537883 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.301428°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65662 KachelY 43705 0.00604005 0.89537883 0.346069 51.301428
    Oben rechts KachelX + 1 65663 KachelY 43705 0.00608799 0.89537883 0.348816 51.301428
    Unten links KachelX 65662 KachelY + 1 43706 0.00604005 0.89534886 0.346069 51.299711
    Unten rechts KachelX + 1 65663 KachelY + 1 43706 0.00608799 0.89534886 0.348816 51.299711
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89537883-0.89534886) × R
    2.99699999999348e-05 × 6371000     		dl = 190.938869999584m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89537883-0.89534886) × R
    2.99699999999348e-05 × 6371000     		dr = 190.938869999584m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00604005-0.00608799) × cos(0.89537883) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.625223204907165 × 6371000     		do = 190.959260023942m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00604005-0.00608799) × cos(0.89534886) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.625246594592708 × 6371000     		du = 190.966403835957m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89537883)-sin(0.89534886))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625223204907165-0.625246594592708)×R²
    abs(0.00608799-0.00604005)×2.33896855428295e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.33896855428295e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.33896855428295e-05×40589641000000     		ar = 36462.2273432367m²