Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65661 / 43146
↖ ↑ ↗
← N 52.251346°
E  0.343323°		 ← 186.98 m → N 52.251346°
E  0.346069°		 →
↑
186.99 m
↓
↑
186.99 m
↓
N 52.249665°
E  0.343323°		 ← 186.99 m →
34 964 m²		 N 52.249665°
E  0.346069°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65661 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43146 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500957489013672 y=0.329181671142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500957489013672 × 217)
    floor (0.500957489013672 × 131072)
    floor (65661.5)     		tx = 65661
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329181671142578 × 217)
    floor (0.329181671142578 × 131072)
    floor (43146.5)     		ty = 43146
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65661 / 43146 ti = "17/65661/43146"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65661/43146.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65661 ÷ 217
    65661 ÷ 131072     		x = 0.500953674316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43146 ÷ 217
    43146 ÷ 131072     		y = 0.329177856445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500953674316406 × 2 - 1) × π
    0.0019073486328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.00599211
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329177856445312 × 2 - 1) × π
    0.341644287109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.07330718249306
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00599211} λ = 0.00599211}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07330718249306))-π/2
    2×atan(2.92503715302797)-π/2
    2×1.24137717671785-π/2
    2.48275435343571-1.57079632675     		φ = 0.91195803
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00599211} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.343323°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91195803 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.251346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65661 KachelY 43146 0.00599211 0.91195803 0.343323 52.251346
    Oben rechts KachelX + 1 65662 KachelY 43146 0.00604005 0.91195803 0.346069 52.251346
    Unten links KachelX 65661 KachelY + 1 43147 0.00599211 0.91192868 0.343323 52.249665
    Unten rechts KachelX + 1 65662 KachelY + 1 43147 0.00604005 0.91192868 0.346069 52.249665
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91195803-0.91192868) × R
    2.9349999999928e-05 × 6371000     		dl = 186.988849999542m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91195803-0.91192868) × R
    2.9349999999928e-05 × 6371000     		dr = 186.988849999542m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00599211-0.00604005) × cos(0.91195803) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.612198701955312 × 6371000     		do = 186.98124157174m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00599211-0.00604005) × cos(0.91192868) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.612221908852798 × 6371000     		du = 186.988329555577m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91195803)-sin(0.91192868))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.612198701955312-0.612221908852798)×R²
    abs(0.00604005-0.00599211)×2.32068974854727e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.32068974854727e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.32068974854727e-05×40589641000000     		ar = 34964.07002261m²