Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65658 / 48366
↖ ↑ ↗
← N 42.589488°
E  0.335083°		 ← 224.86 m → N 42.589488°
E  0.337830°		 →
↑
224.83 m
↓
↑
224.83 m
↓
N 42.587466°
E  0.335083°		 ← 224.87 m →
50 557 m²		 N 42.587466°
E  0.337830°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65658 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48366 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500934600830078 y=0.369007110595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500934600830078 × 217)
    floor (0.500934600830078 × 131072)
    floor (65658.5)     		tx = 65658
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.369007110595703 × 217)
    floor (0.369007110595703 × 131072)
    floor (48366.5)     		ty = 48366
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65658 / 48366 ti = "17/65658/48366"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65658/48366.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65658 ÷ 217
    65658 ÷ 131072     		x = 0.500930786132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48366 ÷ 217
    48366 ÷ 131072     		y = 0.369003295898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500930786132812 × 2 - 1) × π
    0.001861572265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.00584830
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.369003295898438 × 2 - 1) × π
    0.261993408203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.823076566476364
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00584830} λ = 0.00584830}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.823076566476364))-π/2
    2×atan(2.27749593768242)-π/2
    2×1.15706156455597-π/2
    2.31412312911194-1.57079632675     		φ = 0.74332680
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00584830} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.335083°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74332680 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.589488°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65658 KachelY 48366 0.00584830 0.74332680 0.335083 42.589488
    Oben rechts KachelX + 1 65659 KachelY 48366 0.00589624 0.74332680 0.337830 42.589488
    Unten links KachelX 65658 KachelY + 1 48367 0.00584830 0.74329151 0.335083 42.587466
    Unten rechts KachelX + 1 65659 KachelY + 1 48367 0.00589624 0.74329151 0.337830 42.587466
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74332680-0.74329151) × R
    3.52899999999101e-05 × 6371000     		dl = 224.832589999427m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74332680-0.74329151) × R
    3.52899999999101e-05 × 6371000     		dr = 224.832589999427m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00584830-0.00589624) × cos(0.74332680) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.736221255310134 × 6371000     		do = 224.860921706826m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00584830-0.00589624) × cos(0.74329151) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.736245137038508 × 6371000     		du = 224.868215801387m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74332680)-sin(0.74329151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.736221255310134-0.736245137038508)×R²
    abs(0.00589624-0.00584830)×2.38817283730874e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.38817283730874e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.38817283730874e-05×40589641000000     		ar = 50556.8833973599m²