Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65656 / 48280
↖ ↑ ↗
← N 42.763146°
E  0.329590°		 ← 224.19 m → N 42.763146°
E  0.332336°		 →
↑
224.20 m
↓
↑
224.20 m
↓
N 42.761129°
E  0.329590°		 ← 224.19 m →
50 262 m²		 N 42.761129°
E  0.332336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48280 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500919342041016 y=0.368350982666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500919342041016 × 217)
    floor (0.500919342041016 × 131072)
    floor (65656.5)     		tx = 65656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.368350982666016 × 217)
    floor (0.368350982666016 × 131072)
    floor (48280.5)     		ty = 48280
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65656 / 48280 ti = "17/65656/48280"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65656/48280.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65656 ÷ 217
    65656 ÷ 131072     		x = 0.50091552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48280 ÷ 217
    48280 ÷ 131072     		y = 0.36834716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50091552734375 × 2 - 1) × π
    0.0018310546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.00575243
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36834716796875 × 2 - 1) × π
    0.2633056640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.827199139843689
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00575243} λ = 0.00575243}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.827199139843689))-π/2
    2×atan(2.28690446212013)-π/2
    2×1.15857701033273-π/2
    2.31715402066546-1.57079632675     		φ = 0.74635769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00575243} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.329590°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74635769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.763146°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65656 KachelY 48280 0.00575243 0.74635769 0.329590 42.763146
    Oben rechts KachelX + 1 65657 KachelY 48280 0.00580036 0.74635769 0.332336 42.763146
    Unten links KachelX 65656 KachelY + 1 48281 0.00575243 0.74632250 0.329590 42.761129
    Unten rechts KachelX + 1 65657 KachelY + 1 48281 0.00580036 0.74632250 0.332336 42.761129
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74635769-0.74632250) × R
    3.51899999999628e-05 × 6371000     		dl = 224.195489999763m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74635769-0.74632250) × R
    3.51899999999628e-05 × 6371000     		dr = 224.195489999763m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00575243-0.00580036) × cos(0.74635769) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.734166749614995 × 6371000     		do = 224.186649020936m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00575243-0.00580036) × cos(0.74632250) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.734190642086805 × 6371000     		du = 224.193944874629m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74635769)-sin(0.74632250))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734166749614995-0.734190642086805)×R²
    abs(0.00580036-0.00575243)×2.38924718092282e-05×R²
    4.79299999999998e-05×2.38924718092282e-05×6371000²
    4.79299999999998e-05×2.38924718092282e-05×40589641000000     		ar = 50262.4534825457m²