Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65653 / 44149
↖ ↑ ↗
← N 50.532634°
E  0.321350°		 ← 194.10 m → N 50.532634°
E  0.324096°		 →
↑
194.12 m
↓
↑
194.12 m
↓
N 50.530889°
E  0.321350°		 ← 194.11 m →
37 680 m²		 N 50.530889°
E  0.324096°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65653 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44149 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500896453857422 y=0.336833953857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500896453857422 × 217)
    floor (0.500896453857422 × 131072)
    floor (65653.5)     		tx = 65653
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336833953857422 × 217)
    floor (0.336833953857422 × 131072)
    floor (44149.5)     		ty = 44149
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65653 / 44149 ti = "17/65653/44149"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65653/44149.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65653 ÷ 217
    65653 ÷ 131072     		x = 0.500892639160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44149 ÷ 217
    44149 ÷ 131072     		y = 0.336830139160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500892639160156 × 2 - 1) × π
    0.0017852783203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.00560862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336830139160156 × 2 - 1) × π
    0.326339721679688 × 3.1415926535     		Φ = 1.02522647217414
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00560862} λ = 0.00560862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02522647217414))-π/2
    2×atan(2.78772673161431)-π/2
    2×1.22637859016879-π/2
    2.45275718033757-1.57079632675     		φ = 0.88196085
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00560862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.321350°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88196085 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.532634°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65653 KachelY 44149 0.00560862 0.88196085 0.321350 50.532634
    Oben rechts KachelX + 1 65654 KachelY 44149 0.00565655 0.88196085 0.324096 50.532634
    Unten links KachelX 65653 KachelY + 1 44150 0.00560862 0.88193038 0.321350 50.530889
    Unten rechts KachelX + 1 65654 KachelY + 1 44150 0.00565655 0.88193038 0.324096 50.530889
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88196085-0.88193038) × R
    3.04700000000047e-05 × 6371000     		dl = 194.12437000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88196085-0.88193038) × R
    3.04700000000047e-05 × 6371000     		dr = 194.12437000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00560862-0.00565655) × cos(0.88196085) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.635638616935118 × 6371000     		do = 194.099898413699m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00560862-0.00565655) × cos(0.88193038) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.635662139076445 × 6371000     		du = 194.107081182525m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88196085)-sin(0.88193038))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635638616935118-0.635662139076445)×R²
    abs(0.00565655-0.00560862)×2.35221413268372e-05×R²
    4.79299999999998e-05×2.35221413268372e-05×6371000²
    4.79299999999998e-05×2.35221413268372e-05×40589641000000     		ar = 37680.2176747373m²