Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65644 / 43092
↖ ↑ ↗
← N 52.342052°
E  0.296631°		 ← 186.56 m → N 52.342052°
E  0.299377°		 →
↑
186.61 m
↓
↑
186.61 m
↓
N 52.340374°
E  0.296631°		 ← 186.57 m →
34 814 m²		 N 52.340374°
E  0.299377°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65644 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43092 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500827789306641 y=0.328769683837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500827789306641 × 217)
    floor (0.500827789306641 × 131072)
    floor (65644.5)     		tx = 65644
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328769683837891 × 217)
    floor (0.328769683837891 × 131072)
    floor (43092.5)     		ty = 43092
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65644 / 43092 ti = "17/65644/43092"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65644/43092.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65644 ÷ 217
    65644 ÷ 131072     		x = 0.500823974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43092 ÷ 217
    43092 ÷ 131072     		y = 0.328765869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500823974609375 × 2 - 1) × π
    0.00164794921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.00517719
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328765869140625 × 2 - 1) × π
    0.34246826171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.07589577507254
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00517719} λ = 0.00517719}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07589577507254))-π/2
    2×atan(2.93261869101997)-π/2
    2×1.24216873253998-π/2
    2.48433746507996-1.57079632675     		φ = 0.91354114
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00517719} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.296631°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91354114 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.342052°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65644 KachelY 43092 0.00517719 0.91354114 0.296631 52.342052
    Oben rechts KachelX + 1 65645 KachelY 43092 0.00522512 0.91354114 0.299377 52.342052
    Unten links KachelX 65644 KachelY + 1 43093 0.00517719 0.91351185 0.296631 52.340374
    Unten rechts KachelX + 1 65645 KachelY + 1 43093 0.00522512 0.91351185 0.299377 52.340374
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91354114-0.91351185) × R
    2.92899999999596e-05 × 6371000     		dl = 186.606589999743m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91354114-0.91351185) × R
    2.92899999999596e-05 × 6371000     		dr = 186.606589999743m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00517719-0.00522512) × cos(0.91354114) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.610946163977666 × 6371000     		do = 186.559760852932m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00517719-0.00522512) × cos(0.91351185) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.610969351792715 × 6371000     		du = 186.566841531207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91354114)-sin(0.91351185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.610946163977666-0.610969351792715)×R²
    abs(0.00522512-0.00517719)×2.31878150488418e-05×R²
    4.79299999999998e-05×2.31878150488418e-05×6371000²
    4.79299999999998e-05×2.31878150488418e-05×40589641000000     		ar = 34813.9414568877m²