Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65639 / 48297
↖ ↑ ↗
← N 42.728857°
E  0.282898°		 ← 224.36 m → N 42.728857°
E  0.285645°		 →
↑
224.39 m
↓
↑
224.39 m
↓
N 42.726839°
E  0.282898°		 ← 224.36 m →
50 344 m²		 N 42.726839°
E  0.285645°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65639 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48297 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500789642333984 y=0.368480682373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500789642333984 × 217)
    floor (0.500789642333984 × 131072)
    floor (65639.5)     		tx = 65639
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.368480682373047 × 217)
    floor (0.368480682373047 × 131072)
    floor (48297.5)     		ty = 48297
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65639 / 48297 ti = "17/65639/48297"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65639/48297.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65639 ÷ 217
    65639 ÷ 131072     		x = 0.500785827636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48297 ÷ 217
    48297 ÷ 131072     		y = 0.368476867675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500785827636719 × 2 - 1) × π
    0.0015716552734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.00493750
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.368476867675781 × 2 - 1) × π
    0.263046264648438 × 3.1415926535     		Φ = 0.826384212550148
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00493750} λ = 0.00493750}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.826384212550148))-π/2
    2×atan(2.28504156042405)-π/2
    2×1.15827778131487-π/2
    2.31655556262974-1.57079632675     		φ = 0.74575924
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00493750} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.282898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74575924 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.728857°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65639 KachelY 48297 0.00493750 0.74575924 0.282898 42.728857
    Oben rechts KachelX + 1 65640 KachelY 48297 0.00498544 0.74575924 0.285645 42.728857
    Unten links KachelX 65639 KachelY + 1 48298 0.00493750 0.74572402 0.282898 42.726839
    Unten rechts KachelX + 1 65640 KachelY + 1 48298 0.00498544 0.74572402 0.285645 42.726839
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74575924-0.74572402) × R
    3.52200000000025e-05 × 6371000     		dl = 224.386620000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74575924-0.74572402) × R
    3.52200000000025e-05 × 6371000     		dr = 224.386620000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00493750-0.00498544) × cos(0.74575924) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.734572947244423 × 6371000     		do = 224.357485996108m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00493750-0.00498544) × cos(0.74572402) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.734596844605667 × 6371000     		du = 224.36478486535m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74575924)-sin(0.74572402))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734572947244423-0.734596844605667)×R²
    abs(0.00498544-0.00493750)×2.38973612438631e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.38973612438631e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.38973612438631e-05×40589641000000     		ar = 50343.636843812m²