Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65638 / 48296
↖ ↑ ↗
← N 42.730874°
E  0.280151°		 ← 224.35 m → N 42.730874°
E  0.282898°		 →
↑
224.32 m
↓
↑
224.32 m
↓
N 42.728857°
E  0.280151°		 ← 224.36 m →
50 328 m²		 N 42.728857°
E  0.282898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65638 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48296 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500782012939453 y=0.368473052978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500782012939453 × 217)
    floor (0.500782012939453 × 131072)
    floor (65638.5)     		tx = 65638
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.368473052978516 × 217)
    floor (0.368473052978516 × 131072)
    floor (48296.5)     		ty = 48296
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65638 / 48296 ti = "17/65638/48296"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65638/48296.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65638 ÷ 217
    65638 ÷ 131072     		x = 0.500778198242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48296 ÷ 217
    48296 ÷ 131072     		y = 0.36846923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500778198242188 × 2 - 1) × π
    0.001556396484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.00488956
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36846923828125 × 2 - 1) × π
    0.2630615234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.826432149449768
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00488956} λ = 0.00488956}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.826432149449768))-π/2
    2×atan(2.28515110085745)-π/2
    2×1.15829538760341-π/2
    2.31659077520683-1.57079632675     		φ = 0.74579445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00488956} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.280151°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74579445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.730874°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65638 KachelY 48296 0.00488956 0.74579445 0.280151 42.730874
    Oben rechts KachelX + 1 65639 KachelY 48296 0.00493750 0.74579445 0.282898 42.730874
    Unten links KachelX 65638 KachelY + 1 48297 0.00488956 0.74575924 0.280151 42.728857
    Unten rechts KachelX + 1 65639 KachelY + 1 48297 0.00493750 0.74575924 0.282898 42.728857
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74579445-0.74575924) × R
    3.52099999999522e-05 × 6371000     		dl = 224.322909999696m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74579445-0.74575924) × R
    3.52099999999522e-05 × 6371000     		dr = 224.322909999696m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00488956-0.00493750) × cos(0.74579445) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.734549055757535 × 6371000     		do = 224.350188921045m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00488956-0.00493750) × cos(0.74575924) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.734572947244423 × 6371000     		du = 224.357485996108m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74579445)-sin(0.74575924))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734549055757535-0.734572947244423)×R²
    abs(0.00493750-0.00488956)×2.38914868878615e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.38914868878615e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.38914868878615e-05×40589641000000     		ar = 50327.7056935687m²