Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65637 / 48488
↖ ↑ ↗
← N 42.342305°
E  0.277405°		 ← 225.70 m → N 42.342305°
E  0.280151°		 →
↑
225.72 m
↓
↑
225.72 m
↓
N 42.340275°
E  0.277405°		 ← 225.71 m →
50 948 m²		 N 42.340275°
E  0.280151°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65637 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48488 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500774383544922 y=0.369937896728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500774383544922 × 217)
    floor (0.500774383544922 × 131072)
    floor (65637.5)     		tx = 65637
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.369937896728516 × 217)
    floor (0.369937896728516 × 131072)
    floor (48488.5)     		ty = 48488
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65637 / 48488 ti = "17/65637/48488"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65637/48488.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65637 ÷ 217
    65637 ÷ 131072     		x = 0.500770568847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48488 ÷ 217
    48488 ÷ 131072     		y = 0.36993408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500770568847656 × 2 - 1) × π
    0.0015411376953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.00484163
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36993408203125 × 2 - 1) × π
    0.2601318359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.817228264722717
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00484163} λ = 0.00484163}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.817228264722717))-π/2
    2×atan(2.26421532655944)-π/2
    2×1.15490448338665-π/2
    2.3098089667733-1.57079632675     		φ = 0.73901264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00484163} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.277405°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.73901264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.342305°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65637 KachelY 48488 0.00484163 0.73901264 0.277405 42.342305
    Oben rechts KachelX + 1 65638 KachelY 48488 0.00488956 0.73901264 0.280151 42.342305
    Unten links KachelX 65637 KachelY + 1 48489 0.00484163 0.73897721 0.277405 42.340275
    Unten rechts KachelX + 1 65638 KachelY + 1 48489 0.00488956 0.73897721 0.280151 42.340275
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.73901264-0.73897721) × R
    3.54299999999474e-05 × 6371000     		dl = 225.724529999665m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.73901264-0.73897721) × R
    3.54299999999474e-05 × 6371000     		dr = 225.724529999665m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00484163-0.00488956) × cos(0.73901264) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.73913396357484 × 6371000     		do = 225.703447559158m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00484163-0.00488956) × cos(0.73897721) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.739157827286762 × 6371000     		du = 225.710734630674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.73901264)-sin(0.73897721))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73913396357484-0.739157827286762)×R²
    abs(0.00488956-0.00484163)×2.38637119225338e-05×R²
    4.79299999999998e-05×2.38637119225338e-05×6371000²
    4.79299999999998e-05×2.38637119225338e-05×40589641000000     		ar = 50947.6270603454m²