Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65637 / 48361
↖ ↑ ↗
← N 42.599598°
E  0.277405°		 ← 224.78 m → N 42.599598°
E  0.280151°		 →
↑
224.83 m
↓
↑
224.83 m
↓
N 42.597576°
E  0.277405°		 ← 224.78 m →
50 538 m²		 N 42.597576°
E  0.280151°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65637 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48361 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500774383544922 y=0.368968963623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500774383544922 × 217)
    floor (0.500774383544922 × 131072)
    floor (65637.5)     		tx = 65637
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.368968963623047 × 217)
    floor (0.368968963623047 × 131072)
    floor (48361.5)     		ty = 48361
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65637 / 48361 ti = "17/65637/48361"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65637/48361.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65637 ÷ 217
    65637 ÷ 131072     		x = 0.500770568847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48361 ÷ 217
    48361 ÷ 131072     		y = 0.368965148925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500770568847656 × 2 - 1) × π
    0.0015411376953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.00484163
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.368965148925781 × 2 - 1) × π
    0.262069702148438 × 3.1415926535     		Φ = 0.823316250974464
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00484163} λ = 0.00484163}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.823316250974464))-π/2
    2×atan(2.27804188357794)-π/2
    2×1.15714978781107-π/2
    2.31429957562214-1.57079632675     		φ = 0.74350325
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00484163} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.277405°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74350325 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.599598°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65637 KachelY 48361 0.00484163 0.74350325 0.277405 42.599598
    Oben rechts KachelX + 1 65638 KachelY 48361 0.00488956 0.74350325 0.280151 42.599598
    Unten links KachelX 65637 KachelY + 1 48362 0.00484163 0.74346796 0.277405 42.597576
    Unten rechts KachelX + 1 65638 KachelY + 1 48362 0.00488956 0.74346796 0.280151 42.597576
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74350325-0.74346796) × R
    3.52899999999101e-05 × 6371000     		dl = 224.832589999427m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74350325-0.74346796) × R
    3.52899999999101e-05 × 6371000     		dr = 224.832589999427m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00484163-0.00488956) × cos(0.74350325) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.73610183291569 × 6371000     		do = 224.777549985855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00484163-0.00488956) × cos(0.74346796) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.736125719228157 × 6371000     		du = 224.784843958719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74350325)-sin(0.74346796))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73610183291569-0.736125719228157)×R²
    abs(0.00488956-0.00484163)×2.38863124668587e-05×R²
    4.79299999999998e-05×2.38863124668587e-05×6371000²
    4.79299999999998e-05×2.38863124668587e-05×40589641000000     		ar = 50538.1387038916m²