Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65636 / 48360
↖ ↑ ↗
← N 42.601620°
E  0.274658°		 ← 224.82 m → N 42.601620°
E  0.277405°		 →
↑
224.77 m
↓
↑
224.77 m
↓
N 42.599598°
E  0.274658°		 ← 224.82 m →
50 533 m²		 N 42.599598°
E  0.277405°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65636 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48360 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500766754150391 y=0.368961334228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500766754150391 × 217)
    floor (0.500766754150391 × 131072)
    floor (65636.5)     		tx = 65636
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.368961334228516 × 217)
    floor (0.368961334228516 × 131072)
    floor (48360.5)     		ty = 48360
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65636 / 48360 ti = "17/65636/48360"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65636/48360.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65636 ÷ 217
    65636 ÷ 131072     		x = 0.500762939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48360 ÷ 217
    48360 ÷ 131072     		y = 0.36895751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500762939453125 × 2 - 1) × π
    0.00152587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.00479369
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36895751953125 × 2 - 1) × π
    0.2620849609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.823364187874084
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00479369} λ = 0.00479369}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.823364187874084))-π/2
    2×atan(2.27815108846049)-π/2
    2×1.15716743074469-π/2
    2.31433486148938-1.57079632675     		φ = 0.74353853
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00479369} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.274658°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74353853 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.601620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65636 KachelY 48360 0.00479369 0.74353853 0.274658 42.601620
    Oben rechts KachelX + 1 65637 KachelY 48360 0.00484163 0.74353853 0.277405 42.601620
    Unten links KachelX 65636 KachelY + 1 48361 0.00479369 0.74350325 0.274658 42.599598
    Unten rechts KachelX + 1 65637 KachelY + 1 48361 0.00484163 0.74350325 0.277405 42.599598
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74353853-0.74350325) × R
    3.52800000000819e-05 × 6371000     		dl = 224.768880000522m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74353853-0.74350325) × R
    3.52800000000819e-05 × 6371000     		dr = 224.768880000522m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00479369-0.00484163) × cos(0.74353853) × R
    4.79400000000007e-05 × 0.736077952455461 × 6371000     		do = 224.817153326397m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00479369-0.00484163) × cos(0.74350325) × R
    4.79400000000007e-05 × 0.73610183291569 × 6371000     		du = 224.824447033634m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74353853)-sin(0.74350325))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.736077952455461-0.73610183291569)×R²
    abs(0.00484163-0.00479369)×2.38804602286091e-05×R²
    4.79400000000007e-05×2.38804602286091e-05×6371000²
    4.79400000000007e-05×2.38804602286091e-05×40589641000000     		ar = 50532.7194623754m²