Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65631 / 48495
↖ ↑ ↗
← N 42.328093°
E  0.260926°		 ← 225.75 m → N 42.328093°
E  0.263672°		 →
↑
225.79 m
↓
↑
225.79 m
↓
N 42.326062°
E  0.260926°		 ← 225.76 m →
50 974 m²		 N 42.326062°
E  0.263672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65631 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48495 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500728607177734 y=0.369991302490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500728607177734 × 217)
    floor (0.500728607177734 × 131072)
    floor (65631.5)     		tx = 65631
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.369991302490234 × 217)
    floor (0.369991302490234 × 131072)
    floor (48495.5)     		ty = 48495
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65631 / 48495 ti = "17/65631/48495"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65631/48495.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65631 ÷ 217
    65631 ÷ 131072     		x = 0.500724792480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48495 ÷ 217
    48495 ÷ 131072     		y = 0.369987487792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500724792480469 × 2 - 1) × π
    0.0014495849609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.00455401
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.369987487792969 × 2 - 1) × π
    0.260025024414062 × 3.1415926535     		Φ = 0.816892706425377
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00455401} λ = 0.00455401}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.816892706425377))-π/2
    2×atan(2.26345567778)-π/2
    2×1.15478045810531-π/2
    2.30956091621061-1.57079632675     		φ = 0.73876459
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00455401} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.260926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.73876459 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.328093°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65631 KachelY 48495 0.00455401 0.73876459 0.260926 42.328093
    Oben rechts KachelX + 1 65632 KachelY 48495 0.00460194 0.73876459 0.263672 42.328093
    Unten links KachelX 65631 KachelY + 1 48496 0.00455401 0.73872915 0.260926 42.326062
    Unten rechts KachelX + 1 65632 KachelY + 1 48496 0.00460194 0.73872915 0.263672 42.326062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.73876459-0.73872915) × R
    3.54400000001087e-05 × 6371000     		dl = 225.788240000693m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.73876459-0.73872915) × R
    3.54400000001087e-05 × 6371000     		dr = 225.788240000693m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00455401-0.00460194) × cos(0.73876459) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.739301017007326 × 6371000     		do = 225.754459334421m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00455401-0.00460194) × cos(0.73872915) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.739324880956086 × 6371000     		du = 225.761746478258m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.73876459)-sin(0.73872915))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.739301017007326-0.739324880956086)×R²
    abs(0.00460194-0.00455401)×2.38639487591952e-05×R²
    4.79299999999998e-05×2.38639487591952e-05×6371000²
    4.79299999999998e-05×2.38639487591952e-05×40589641000000     		ar = 50973.5247263497m²