Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65630 / 48510
↖ ↑ ↗
← N 42.297627°
E  0.258179°		 ← 225.91 m → N 42.297627°
E  0.260926°		 →
↑
225.85 m
↓
↑
225.85 m
↓
N 42.295596°
E  0.258179°		 ← 225.92 m →
51 023 m²		 N 42.295596°
E  0.260926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65630 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48510 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500720977783203 y=0.370105743408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500720977783203 × 217)
    floor (0.500720977783203 × 131072)
    floor (65630.5)     		tx = 65630
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.370105743408203 × 217)
    floor (0.370105743408203 × 131072)
    floor (48510.5)     		ty = 48510
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65630 / 48510 ti = "17/65630/48510"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65630/48510.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65630 ÷ 217
    65630 ÷ 131072     		x = 0.500717163085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48510 ÷ 217
    48510 ÷ 131072     		y = 0.370101928710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500717163085938 × 2 - 1) × π
    0.001434326171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.00450607
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.370101928710938 × 2 - 1) × π
    0.259796142578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.816173652931076
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00450607} λ = 0.00450607}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.816173652931076))-π/2
    2×atan(2.26182871707169)-π/2
    2×1.15451459526865-π/2
    2.3090291905373-1.57079632675     		φ = 0.73823286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00450607} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.258179°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.73823286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.297627°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65630 KachelY 48510 0.00450607 0.73823286 0.258179 42.297627
    Oben rechts KachelX + 1 65631 KachelY 48510 0.00455401 0.73823286 0.260926 42.297627
    Unten links KachelX 65630 KachelY + 1 48511 0.00450607 0.73819741 0.258179 42.295596
    Unten rechts KachelX + 1 65631 KachelY + 1 48511 0.00455401 0.73819741 0.260926 42.295596
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.73823286-0.73819741) × R
    3.54499999999369e-05 × 6371000     		dl = 225.851949999598m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.73823286-0.73819741) × R
    3.54499999999369e-05 × 6371000     		dr = 225.851949999598m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00450607-0.00455401) × cos(0.73823286) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.73965896621106 × 6371000     		do = 225.910887102647m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00450607-0.00455401) × cos(0.73819741) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.739682822954011 × 6371000     		du = 225.918173566017m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.73823286)-sin(0.73819741))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73965896621106-0.739682822954011)×R²
    abs(0.00455401-0.00450607)×2.38567429515779e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.38567429515779e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.38567429515779e-05×40589641000000     		ar = 51023.2372145265m²