Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65627 / 48329
↖ ↑ ↗
← N 42.664261°
E  0.249939°		 ← 224.54 m → N 42.664261°
E  0.252685°		 →
↑
224.58 m
↓
↑
224.58 m
↓
N 42.662241°
E  0.249939°		 ← 224.55 m →
50 428 m²		 N 42.662241°
E  0.252685°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65627 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48329 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500698089599609 y=0.368724822998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500698089599609 × 217)
    floor (0.500698089599609 × 131072)
    floor (65627.5)     		tx = 65627
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.368724822998047 × 217)
    floor (0.368724822998047 × 131072)
    floor (48329.5)     		ty = 48329
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65627 / 48329 ti = "17/65627/48329"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65627/48329.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65627 ÷ 217
    65627 ÷ 131072     		x = 0.500694274902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48329 ÷ 217
    48329 ÷ 131072     		y = 0.368721008300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500694274902344 × 2 - 1) × π
    0.0013885498046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.00436226
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.368721008300781 × 2 - 1) × π
    0.262557983398438 × 3.1415926535     		Φ = 0.824850231762306
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00436226} λ = 0.00436226}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.824850231762306))-π/2
    2×atan(2.28153903765907)-π/2
    2×1.15771407772286-π/2
    2.31542815544573-1.57079632675     		φ = 0.74463183
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00436226} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.249939°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74463183 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.664261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65627 KachelY 48329 0.00436226 0.74463183 0.249939 42.664261
    Oben rechts KachelX + 1 65628 KachelY 48329 0.00441019 0.74463183 0.252685 42.664261
    Unten links KachelX 65627 KachelY + 1 48330 0.00436226 0.74459658 0.249939 42.662241
    Unten rechts KachelX + 1 65628 KachelY + 1 48330 0.00441019 0.74459658 0.252685 42.662241
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74463183-0.74459658) × R
    3.52500000000422e-05 × 6371000     		dl = 224.577750000269m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74463183-0.74459658) × R
    3.52500000000422e-05 × 6371000     		dr = 224.577750000269m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00436226-0.00441019) × cos(0.74463183) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.735337461436888 × 6371000     		do = 224.544139959414m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00436226-0.00441019) × cos(0.74459658) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.735361349944766 × 6371000     		du = 224.551434602673m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74463183)-sin(0.74459658))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.735337461436888-0.735361349944766)×R²
    abs(0.00441019-0.00436226)×2.38885078774898e-05×R²
    4.79299999999998e-05×2.38885078774898e-05×6371000²
    4.79299999999998e-05×2.38885078774898e-05×40589641000000     		ar = 50428.4368403103m²