Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65626 / 48330
↖ ↑ ↗
← N 42.662241°
E  0.247192°		 ← 224.60 m → N 42.662241°
E  0.249939°		 →
↑
224.58 m
↓
↑
224.58 m
↓
N 42.660222°
E  0.247192°		 ← 224.61 m →
50 441 m²		 N 42.660222°
E  0.249939°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65626 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48330 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500690460205078 y=0.368732452392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500690460205078 × 217)
    floor (0.500690460205078 × 131072)
    floor (65626.5)     		tx = 65626
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.368732452392578 × 217)
    floor (0.368732452392578 × 131072)
    floor (48330.5)     		ty = 48330
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65626 / 48330 ti = "17/65626/48330"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65626/48330.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65626 ÷ 217
    65626 ÷ 131072     		x = 0.500686645507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48330 ÷ 217
    48330 ÷ 131072     		y = 0.368728637695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500686645507812 × 2 - 1) × π
    0.001373291015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.00431432
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.368728637695312 × 2 - 1) × π
    0.262542724609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.824802294862686
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00431432} λ = 0.00431432}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.824802294862686))-π/2
    2×atan(2.28142967037263)-π/2
    2×1.15769645253752-π/2
    2.31539290507503-1.57079632675     		φ = 0.74459658
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00431432} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.247192°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74459658 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.662241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65626 KachelY 48330 0.00431432 0.74459658 0.247192 42.662241
    Oben rechts KachelX + 1 65627 KachelY 48330 0.00436226 0.74459658 0.249939 42.662241
    Unten links KachelX 65626 KachelY + 1 48331 0.00431432 0.74456133 0.247192 42.660222
    Unten rechts KachelX + 1 65627 KachelY + 1 48331 0.00436226 0.74456133 0.249939 42.660222
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74459658-0.74456133) × R
    3.52499999999312e-05 × 6371000     		dl = 224.577749999561m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74459658-0.74456133) × R
    3.52499999999312e-05 × 6371000     		dr = 224.577749999561m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00431432-0.00436226) × cos(0.74459658) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.735361349944766 × 6371000     		do = 224.598284474278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00431432-0.00436226) × cos(0.74456133) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.735385237538911 × 6371000     		du = 224.605580360397m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74459658)-sin(0.74456133))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.735361349944766-0.735385237538911)×R²
    abs(0.00436226-0.00431432)×2.38875941449557e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.38875941449557e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.38875941449557e-05×40589641000000     		ar = 50440.5966331195m²