Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65625 / 48281
↖ ↑ ↗
← N 42.761129°
E  0.244446°		 ← 224.24 m → N 42.761129°
E  0.247192°		 →
↑
224.26 m
↓
↑
224.26 m
↓
N 42.759113°
E  0.244446°		 ← 224.25 m →
50 289 m²		 N 42.759113°
E  0.247192°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48281 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500682830810547 y=0.368358612060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500682830810547 × 217)
    floor (0.500682830810547 × 131072)
    floor (65625.5)     		tx = 65625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.368358612060547 × 217)
    floor (0.368358612060547 × 131072)
    floor (48281.5)     		ty = 48281
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65625 / 48281 ti = "17/65625/48281"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65625/48281.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65625 ÷ 217
    65625 ÷ 131072     		x = 0.500679016113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48281 ÷ 217
    48281 ÷ 131072     		y = 0.368354797363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500679016113281 × 2 - 1) × π
    0.0013580322265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.00426638
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.368354797363281 × 2 - 1) × π
    0.263290405273438 × 3.1415926535     		Φ = 0.827151202944069
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00426638} λ = 0.00426638}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.827151202944069))-π/2
    2×atan(2.28679483763804)-π/2
    2×1.15855941320753-π/2
    2.31711882641507-1.57079632675     		φ = 0.74632250
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00426638} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.244446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74632250 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.761129°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65625 KachelY 48281 0.00426638 0.74632250 0.244446 42.761129
    Oben rechts KachelX + 1 65626 KachelY 48281 0.00431432 0.74632250 0.247192 42.761129
    Unten links KachelX 65625 KachelY + 1 48282 0.00426638 0.74628730 0.244446 42.759113
    Unten rechts KachelX + 1 65626 KachelY + 1 48282 0.00431432 0.74628730 0.247192 42.759113
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74632250-0.74628730) × R
    3.5200000000013e-05 × 6371000     		dl = 224.259200000083m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74632250-0.74628730) × R
    3.5200000000013e-05 × 6371000     		dr = 224.259200000083m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00426638-0.00431432) × cos(0.74632250) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.734190642086805 × 6371000     		do = 224.240720160436m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00426638-0.00431432) × cos(0.74628730) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.734214540438614 × 6371000     		du = 224.248019332223m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74632250)-sin(0.74628730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734190642086805-0.734214540438614)×R²
    abs(0.00431432-0.00426638)×2.38983518097147e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.38983518097147e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.38983518097147e-05×40589641000000     		ar = 50288.8629689289m²