Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65624 / 48504
↖ ↑ ↗
← N 42.309815°
E  0.241699°		 ← 225.82 m → N 42.309815°
E  0.244446°		 →
↑
225.85 m
↓
↑
225.85 m
↓
N 42.307784°
E  0.241699°		 ← 225.83 m →
51 003 m²		 N 42.307784°
E  0.244446°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48504 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500675201416016 y=0.370059967041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500675201416016 × 217)
    floor (0.500675201416016 × 131072)
    floor (65624.5)     		tx = 65624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.370059967041016 × 217)
    floor (0.370059967041016 × 131072)
    floor (48504.5)     		ty = 48504
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65624 / 48504 ti = "17/65624/48504"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65624/48504.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65624 ÷ 217
    65624 ÷ 131072     		x = 0.50067138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48504 ÷ 217
    48504 ÷ 131072     		y = 0.37005615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50067138671875 × 2 - 1) × π
    0.0013427734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.00421845
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37005615234375 × 2 - 1) × π
    0.2598876953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.816461274328796
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00421845} λ = 0.00421845}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.816461274328796))-π/2
    2×atan(2.26247936097377)-π/2
    2×1.15462095584621-π/2
    2.30924191169242-1.57079632675     		φ = 0.73844558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00421845} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.241699°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.73844558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.309815°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65624 KachelY 48504 0.00421845 0.73844558 0.241699 42.309815
    Oben rechts KachelX + 1 65625 KachelY 48504 0.00426638 0.73844558 0.244446 42.309815
    Unten links KachelX 65624 KachelY + 1 48505 0.00421845 0.73841013 0.241699 42.307784
    Unten rechts KachelX + 1 65625 KachelY + 1 48505 0.00426638 0.73841013 0.244446 42.307784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.73844558-0.73841013) × R
    3.54500000000479e-05 × 6371000     		dl = 225.851950000305m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.73844558-0.73841013) × R
    3.54500000000479e-05 × 6371000     		dr = 225.851950000305m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00421845-0.00426638) × cos(0.73844558) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.739515792771459 × 6371000     		do = 225.820043697751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00421845-0.00426638) × cos(0.73841013) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.739539655091672 × 6371000     		du = 225.827330344292m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.73844558)-sin(0.73841013))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.739515792771459-0.739539655091672)×R²
    abs(0.00426638-0.00421845)×2.38623202137855e-05×R²
    4.79299999999998e-05×2.38623202137855e-05×6371000²
    4.79299999999998e-05×2.38623202137855e-05×40589641000000     		ar = 51002.7200753477m²