Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65619 / 65595
↖ ↑ ↗
← S  0.162048°
E  0.227966°		 ← 305.42 m → S  0.162048°
E  0.230713°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
S  0.164795°
E  0.227966°		 ← 305.42 m →
93 285 m²		 S  0.164795°
E  0.230713°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65619 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65595 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500637054443359 y=0.500453948974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500637054443359 × 217)
    floor (0.500637054443359 × 131072)
    floor (65619.5)     		tx = 65619
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.500453948974609 × 217)
    floor (0.500453948974609 × 131072)
    floor (65595.5)     		ty = 65595
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65619 / 65595 ti = "17/65619/65595"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65619/65595.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65619 ÷ 217
    65619 ÷ 131072     		x = 0.500633239746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65595 ÷ 217
    65595 ÷ 131072     		y = 0.500450134277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500633239746094 × 2 - 1) × π
    0.0012664794921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.00397876
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.500450134277344 × 2 - 1) × π
    -0.0009002685546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.00282827707758331
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00397876} λ = 0.00397876}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00282827707758331))-π/2
    2×atan(0.997175718730059)-π/2
    2×0.783984026743971-π/2
    1.56796805348794-1.57079632675     		φ = -0.00282827
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00397876} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.227966°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00282827 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.162048°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65619 KachelY 65595 0.00397876 -0.00282827 0.227966 -0.162048
    Oben rechts KachelX + 1 65620 KachelY 65595 0.00402670 -0.00282827 0.230713 -0.162048
    Unten links KachelX 65619 KachelY + 1 65596 0.00397876 -0.00287621 0.227966 -0.164795
    Unten rechts KachelX + 1 65620 KachelY + 1 65596 0.00402670 -0.00287621 0.230713 -0.164795
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00282827--0.00287621) × R
    4.79400000000002e-05 × 6371000     		dl = 305.425740000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00282827--0.00287621) × R
    4.79400000000002e-05 × 6371000     		dr = 305.425740000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00397876-0.00402670) × cos(-0.00282827) × R
    4.79400000000007e-05 × 0.99999600044707 × 6371000     		do = 305.424518433591m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00397876-0.00402670) × cos(-0.00287621) × R
    4.79400000000007e-05 × 0.999995863710869 × 6371000     		du = 305.424476670836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00282827)-sin(-0.00287621))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99999600044707-0.999995863710869)×R²
    abs(0.00402670-0.00397876)×1.36736200140319e-07×R²
    4.79400000000007e-05×1.36736200140319e-07×6371000²
    4.79400000000007e-05×1.36736200140319e-07×40589641000000     		ar = 93284.503196879m²