Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65613 / 65495
↖ ↑ ↗
← N  0.112610°
E  0.211487°		 ← 305.43 m → N  0.112610°
E  0.214234°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
N  0.109863°
E  0.211487°		 ← 305.43 m →
93 285 m²		 N  0.109863°
E  0.214234°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65613 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65495 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500591278076172 y=0.499691009521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500591278076172 × 217)
    floor (0.500591278076172 × 131072)
    floor (65613.5)     		tx = 65613
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499691009521484 × 217)
    floor (0.499691009521484 × 131072)
    floor (65495.5)     		ty = 65495
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65613 / 65495 ti = "17/65613/65495"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65613/65495.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65613 ÷ 217
    65613 ÷ 131072     		x = 0.500587463378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65495 ÷ 217
    65495 ÷ 131072     		y = 0.499687194824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500587463378906 × 2 - 1) × π
    0.0011749267578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.00369114
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.499687194824219 × 2 - 1) × π
    0.0006256103515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0019654128844223
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00369114} λ = 0.00369114}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0019654128844223))-π/2
    2×atan(1.0019673455743)-π/2
    2×0.786380869206986-π/2
    1.57276173841397-1.57079632675     		φ = 0.00196541
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00369114} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.211487°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00196541 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.112610°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65613 KachelY 65495 0.00369114 0.00196541 0.211487 0.112610
    Oben rechts KachelX + 1 65614 KachelY 65495 0.00373908 0.00196541 0.214234 0.112610
    Unten links KachelX 65613 KachelY + 1 65496 0.00369114 0.00191747 0.211487 0.109863
    Unten rechts KachelX + 1 65614 KachelY + 1 65496 0.00373908 0.00191747 0.214234 0.109863
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00196541-0.00191747) × R
    4.794e-05 × 6371000     		dl = 305.42574m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00196541-0.00191747) × R
    4.794e-05 × 6371000     		dr = 305.42574m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00369114-0.00373908) × cos(0.00196541) × R
    4.79400000000002e-05 × 0.999998068582388 × 6371000     		do = 305.425150095348m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00369114-0.00373908) × cos(0.00191747) × R
    4.79400000000002e-05 × 0.999998161654963 × 6371000     		du = 305.425178522108m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00196541)-sin(0.00191747))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999998068582388-0.999998161654963)×R²
    abs(0.00373908-0.00369114)×9.30725750913908e-08×R²
    4.79400000000002e-05×9.30725750913908e-08×6371000²
    4.79400000000002e-05×9.30725750913908e-08×40589641000000     		ar = 93284.7068414812m²