Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65601 / 48317
↖ ↑ ↗
← N 42.688492°
E  0.178528°		 ← 224.50 m → N 42.688492°
E  0.181275°		 →
↑
224.45 m
↓
↑
224.45 m
↓
N 42.686474°
E  0.178528°		 ← 224.51 m →
50 391 m²		 N 42.686474°
E  0.181275°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65601 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48317 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500499725341797 y=0.368633270263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500499725341797 × 217)
    floor (0.500499725341797 × 131072)
    floor (65601.5)     		tx = 65601
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.368633270263672 × 217)
    floor (0.368633270263672 × 131072)
    floor (48317.5)     		ty = 48317
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65601 / 48317 ti = "17/65601/48317"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65601/48317.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65601 ÷ 217
    65601 ÷ 131072     		x = 0.500495910644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48317 ÷ 217
    48317 ÷ 131072     		y = 0.368629455566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500495910644531 × 2 - 1) × π
    0.0009918212890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.00311590
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.368629455566406 × 2 - 1) × π
    0.262741088867188 × 3.1415926535     		Φ = 0.825425474557747
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00311590} λ = 0.00311590}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.825425474557747))-π/2
    2×atan(2.2828518541109)-π/2
    2×1.15792553528501-π/2
    2.31585107057001-1.57079632675     		φ = 0.74505474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00311590} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.178528°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74505474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.688492°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65601 KachelY 48317 0.00311590 0.74505474 0.178528 42.688492
    Oben rechts KachelX + 1 65602 KachelY 48317 0.00316384 0.74505474 0.181275 42.688492
    Unten links KachelX 65601 KachelY + 1 48318 0.00311590 0.74501951 0.178528 42.686474
    Unten rechts KachelX + 1 65602 KachelY + 1 48318 0.00316384 0.74501951 0.181275 42.686474
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74505474-0.74501951) × R
    3.52300000000527e-05 × 6371000     		dl = 224.450330000336m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74505474-0.74501951) × R
    3.52300000000527e-05 × 6371000     		dr = 224.450330000336m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00311590-0.00316384) × cos(0.74505474) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.735050789103122 × 6371000     		do = 224.503431199404m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00311590-0.00316384) × cos(0.74501951) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.735074675011418 × 6371000     		du = 224.510726570621m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74505474)-sin(0.74501951))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.735050789103122-0.735074675011418)×R²
    abs(0.00316384-0.00311590)×2.38859082962728e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.38859082962728e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.38859082962728e-05×40589641000000     		ar = 50390.6879481884m²