Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65598 / 48321
↖ ↑ ↗
← N 42.680416°
E  0.170288°		 ← 224.49 m → N 42.680416°
E  0.173034°		 →
↑
224.51 m
↓
↑
224.51 m
↓
N 42.678397°
E  0.170288°		 ← 224.49 m →
50 401 m²		 N 42.678397°
E  0.173034°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65598 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48321 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500476837158203 y=0.368663787841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500476837158203 × 217)
    floor (0.500476837158203 × 131072)
    floor (65598.5)     		tx = 65598
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.368663787841797 × 217)
    floor (0.368663787841797 × 131072)
    floor (48321.5)     		ty = 48321
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65598 / 48321 ti = "17/65598/48321"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65598/48321.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65598 ÷ 217
    65598 ÷ 131072     		x = 0.500473022460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48321 ÷ 217
    48321 ÷ 131072     		y = 0.368659973144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500473022460938 × 2 - 1) × π
    0.000946044921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.00297209
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.368659973144531 × 2 - 1) × π
    0.262680053710938 × 3.1415926535     		Φ = 0.825233726959267
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00297209} λ = 0.00297209}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.825233726959267))-π/2
    2×atan(2.28241416471447)-π/2
    2×1.15785505859256-π/2
    2.31571011718512-1.57079632675     		φ = 0.74491379
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00297209} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.170288°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74491379 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.680416°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65598 KachelY 48321 0.00297209 0.74491379 0.170288 42.680416
    Oben rechts KachelX + 1 65599 KachelY 48321 0.00302002 0.74491379 0.173034 42.680416
    Unten links KachelX 65598 KachelY + 1 48322 0.00297209 0.74487855 0.170288 42.678397
    Unten rechts KachelX + 1 65599 KachelY + 1 48322 0.00302002 0.74487855 0.173034 42.678397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74491379-0.74487855) × R
    3.52399999999919e-05 × 6371000     		dl = 224.514039999949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74491379-0.74487855) × R
    3.52399999999919e-05 × 6371000     		dr = 224.514039999949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00297209-0.00302002) × cos(0.74491379) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.735146347599401 × 6371000     		do = 224.485781050038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00297209-0.00302002) × cos(0.74487855) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.735170236636208 × 6371000     		du = 224.493075854812m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74491379)-sin(0.74487855))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.735146347599401-0.735170236636208)×R²
    abs(0.00302002-0.00297209)×2.38890368065015e-05×R²
    4.79299999999998e-05×2.38890368065015e-05×6371000²
    4.79299999999998e-05×2.38890368065015e-05×40589641000000     		ar = 50401.0285243683m²