Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65598 / 48319
↖ ↑ ↗
← N 42.684454°
E  0.170288°		 ← 224.47 m → N 42.684454°
E  0.173034°		 →
↑
224.51 m
↓
↑
224.51 m
↓
N 42.682435°
E  0.170288°		 ← 224.48 m →
50 398 m²		 N 42.682435°
E  0.173034°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65598 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48319 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500476837158203 y=0.368648529052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500476837158203 × 217)
    floor (0.500476837158203 × 131072)
    floor (65598.5)     		tx = 65598
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.368648529052734 × 217)
    floor (0.368648529052734 × 131072)
    floor (48319.5)     		ty = 48319
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65598 / 48319 ti = "17/65598/48319"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65598/48319.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65598 ÷ 217
    65598 ÷ 131072     		x = 0.500473022460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48319 ÷ 217
    48319 ÷ 131072     		y = 0.368644714355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500473022460938 × 2 - 1) × π
    0.000946044921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.00297209
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.368644714355469 × 2 - 1) × π
    0.262710571289062 × 3.1415926535     		Φ = 0.825329600758507
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00297209} λ = 0.00297209}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.825329600758507))-π/2
    2×atan(2.28263299892195)-π/2
    2×1.15789029808401-π/2
    2.31578059616801-1.57079632675     		φ = 0.74498427
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00297209} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.170288°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74498427 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.684454°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65598 KachelY 48319 0.00297209 0.74498427 0.170288 42.684454
    Oben rechts KachelX + 1 65599 KachelY 48319 0.00302002 0.74498427 0.173034 42.684454
    Unten links KachelX 65598 KachelY + 1 48320 0.00297209 0.74494903 0.170288 42.682435
    Unten rechts KachelX + 1 65599 KachelY + 1 48320 0.00302002 0.74494903 0.173034 42.682435
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74498427-0.74494903) × R
    3.52399999999919e-05 × 6371000     		dl = 224.514039999949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74498427-0.74494903) × R
    3.52399999999919e-05 × 6371000     		dr = 224.514039999949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00297209-0.00302002) × cos(0.74498427) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.735098566786977 × 6371000     		do = 224.471190604161m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00297209-0.00302002) × cos(0.74494903) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.735122457649648 × 6371000     		du = 224.478485966485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74498427)-sin(0.74494903))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.735098566786977-0.735122457649648)×R²
    abs(0.00302002-0.00297209)×2.38908626709611e-05×R²
    4.79299999999998e-05×2.38908626709611e-05×6371000²
    4.79299999999998e-05×2.38908626709611e-05×40589641000000     		ar = 50397.7528269575m²