Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65591 / 65461
↖ ↑ ↗
← N  0.205993°
E  0.151062°		 ← 305.42 m → N  0.205993°
E  0.153809°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
N  0.203246°
E  0.151062°		 ← 305.42 m →
93 284 m²		 N  0.203246°
E  0.153809°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65461 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500423431396484 y=0.499431610107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500423431396484 × 217)
    floor (0.500423431396484 × 131072)
    floor (65591.5)     		tx = 65591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499431610107422 × 217)
    floor (0.499431610107422 × 131072)
    floor (65461.5)     		ty = 65461
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65591 / 65461 ti = "17/65591/65461"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65591/65461.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65591 ÷ 217
    65591 ÷ 131072     		x = 0.500419616699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65461 ÷ 217
    65461 ÷ 131072     		y = 0.499427795410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500419616699219 × 2 - 1) × π
    0.0008392333984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.00263653
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.499427795410156 × 2 - 1) × π
    0.0011444091796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.00359526747150421
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00263653} λ = 0.00263653}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00359526747150421))-π/2
    2×atan(1.00360173819794)-π/2
    2×0.787195793260526-π/2
    1.57439158652105-1.57079632675     		φ = 0.00359526
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00263653} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.151062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00359526 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.205993°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65591 KachelY 65461 0.00263653 0.00359526 0.151062 0.205993
    Oben rechts KachelX + 1 65592 KachelY 65461 0.00268447 0.00359526 0.153809 0.205993
    Unten links KachelX 65591 KachelY + 1 65462 0.00263653 0.00354732 0.151062 0.203246
    Unten rechts KachelX + 1 65592 KachelY + 1 65462 0.00268447 0.00354732 0.153809 0.203246
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00359526-0.00354732) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.425739999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00359526-0.00354732) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.425739999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00263653-0.00268447) × cos(0.00359526) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999993537059728 × 6371000     		do = 305.423766051683m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00263653-0.00268447) × cos(0.00354732) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999993708267007 × 6371000     		du = 305.423818342793m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00359526)-sin(0.00354732))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999993537059728-0.999993708267007)×R²
    abs(0.00268447-0.00263653)×1.71207278687469e-07×R²
    4.79399999999998e-05×1.71207278687469e-07×6371000²
    4.79399999999998e-05×1.71207278687469e-07×40589641000000     		ar = 93284.2877633134m²