Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65590 / 65458
↖ ↑ ↗
← N  0.214233°
E  0.148315°		 ← 305.42 m → N  0.214233°
E  0.151062°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
N  0.211486°
E  0.148315°		 ← 305.42 m →
93 284 m²		 N  0.211486°
E  0.151062°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65590 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500415802001953 y=0.499408721923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500415802001953 × 217)
    floor (0.500415802001953 × 131072)
    floor (65590.5)     		tx = 65590
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499408721923828 × 217)
    floor (0.499408721923828 × 131072)
    floor (65458.5)     		ty = 65458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65590 / 65458 ti = "17/65590/65458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65590/65458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65590 ÷ 217
    65590 ÷ 131072     		x = 0.500411987304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65458 ÷ 217
    65458 ÷ 131072     		y = 0.499404907226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500411987304688 × 2 - 1) × π
    0.000823974609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.00258859
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.499404907226562 × 2 - 1) × π
    0.001190185546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.00373907817036438
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00258859} λ = 0.00258859}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00373907817036438))-π/2
    2×atan(1.00374607724379)-π/2
    2×0.7872676981264-π/2
    1.5745353962528-1.57079632675     		φ = 0.00373907
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00258859} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.148315°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00373907 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.214233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65590 KachelY 65458 0.00258859 0.00373907 0.148315 0.214233
    Oben rechts KachelX + 1 65591 KachelY 65458 0.00263653 0.00373907 0.151062 0.214233
    Unten links KachelX 65590 KachelY + 1 65459 0.00258859 0.00369113 0.148315 0.211486
    Unten rechts KachelX + 1 65591 KachelY + 1 65459 0.00263653 0.00369113 0.151062 0.211486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00373907-0.00369113) × R
    4.79400000000002e-05 × 6371000     		dl = 305.425740000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00373907-0.00369113) × R
    4.79400000000002e-05 × 6371000     		dr = 305.425740000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00258859-0.00263653) × cos(0.00373907) × R
    4.79400000000002e-05 × 0.999993009685912 × 6371000     		do = 305.423604978148m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00258859-0.00263653) × cos(0.00369113) × R
    4.79400000000002e-05 × 0.999993187787396 × 6371000     		du = 305.423659374926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00373907)-sin(0.00369113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999993009685912-0.999993187787396)×R²
    abs(0.00263653-0.00258859)×1.78101484338278e-07×R²
    4.79400000000002e-05×1.78101484338278e-07×6371000²
    4.79400000000002e-05×1.78101484338278e-07×40589641000000     		ar = 93284.2388888735m²