Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65589 / 44180
↖ ↑ ↗
← N 50.478482°
E  0.145569°		 ← 194.32 m → N 50.478482°
E  0.148315°		 →
↑
194.32 m
↓
↑
194.32 m
↓
N 50.476735°
E  0.145569°		 ← 194.33 m →
37 761 m²		 N 50.476735°
E  0.148315°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65589 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44180 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500408172607422 y=0.337070465087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500408172607422 × 217)
    floor (0.500408172607422 × 131072)
    floor (65589.5)     		tx = 65589
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337070465087891 × 217)
    floor (0.337070465087891 × 131072)
    floor (44180.5)     		ty = 44180
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65589 / 44180 ti = "17/65589/44180"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65589/44180.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65589 ÷ 217
    65589 ÷ 131072     		x = 0.500404357910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44180 ÷ 217
    44180 ÷ 131072     		y = 0.337066650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500404357910156 × 2 - 1) × π
    0.0008087158203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.00254066
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337066650390625 × 2 - 1) × π
    0.32586669921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.02374042828592
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00254066} λ = 0.00254066}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02374042828592))-π/2
    2×atan(2.78358712392392)-π/2
    2×1.22590602578764-π/2
    2.45181205157528-1.57079632675     		φ = 0.88101572
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00254066} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.145569°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88101572 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.478482°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65589 KachelY 44180 0.00254066 0.88101572 0.145569 50.478482
    Oben rechts KachelX + 1 65590 KachelY 44180 0.00258859 0.88101572 0.148315 50.478482
    Unten links KachelX 65589 KachelY + 1 44181 0.00254066 0.88098522 0.145569 50.476735
    Unten rechts KachelX + 1 65590 KachelY + 1 44181 0.00258859 0.88098522 0.148315 50.476735
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88101572-0.88098522) × R
    3.04999999999334e-05 × 6371000     		dl = 194.315499999575m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88101572-0.88098522) × R
    3.04999999999334e-05 × 6371000     		dr = 194.315499999575m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00254066-0.00258859) × cos(0.88101572) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.63636796076883 × 6371000     		do = 194.32261232733m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00254066-0.00258859) × cos(0.88098522) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.63639148773511 × 6371000     		du = 194.329796569513m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88101572)-sin(0.88098522))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63636796076883-0.63639148773511)×R²
    abs(0.00258859-0.00254066)×2.35269662808291e-05×R²
    4.79299999999998e-05×2.35269662808291e-05×6371000²
    4.79299999999998e-05×2.35269662808291e-05×40589641000000     		ar = 37760.5935834247m²