Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65577 / 65591
↖ ↑ ↗
← S  0.151062°
E  0.112610°		 ← 305.42 m → S  0.151062°
E  0.115356°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  0.153808°
E  0.112610°		 ← 305.42 m →
93 265 m²		 S  0.153808°
E  0.115356°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65577 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65591 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500316619873047 y=0.500423431396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500316619873047 × 217)
    floor (0.500316619873047 × 131072)
    floor (65577.5)     		tx = 65577
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.500423431396484 × 217)
    floor (0.500423431396484 × 131072)
    floor (65591.5)     		ty = 65591
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65577 / 65591 ti = "17/65577/65591"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65577/65591.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65577 ÷ 217
    65577 ÷ 131072     		x = 0.500312805175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65591 ÷ 217
    65591 ÷ 131072     		y = 0.500419616699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500312805175781 × 2 - 1) × π
    0.0006256103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.00196541
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.500419616699219 × 2 - 1) × π
    -0.0008392333984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.00263652947910309
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00196541} λ = 0.00196541}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00263652947910309))-π/2
    2×atan(0.997366943112211)-π/2
    2×0.784079900185167-π/2
    1.56815980037033-1.57079632675     		φ = -0.00263653
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00196541} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.112610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00263653 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.151062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65577 KachelY 65591 0.00196541 -0.00263653 0.112610 -0.151062
    Oben rechts KachelX + 1 65578 KachelY 65591 0.00201335 -0.00263653 0.115356 -0.151062
    Unten links KachelX 65577 KachelY + 1 65592 0.00196541 -0.00268446 0.112610 -0.153808
    Unten rechts KachelX + 1 65578 KachelY + 1 65592 0.00201335 -0.00268446 0.115356 -0.153808
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00263653--0.00268446) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.362029999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00263653--0.00268446) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.362029999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00196541-0.00201335) × cos(-0.00263653) × R
    4.79400000000002e-05 × 0.999996524356793 × 6371000     		do = 305.424678449103m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00196541-0.00201335) × cos(-0.00268446) × R
    4.79400000000002e-05 × 0.999996396839418 × 6371000     		du = 305.424639502014m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00263653)-sin(-0.00268446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999996524356793-0.999996396839418)×R²
    abs(0.00201335-0.00196541)×1.27517374881592e-07×R²
    4.79400000000002e-05×1.27517374881592e-07×6371000²
    4.79400000000002e-05×1.27517374881592e-07×40589641000000     		ar = 93265.0938946882m²