Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65576 / 48552
↖ ↑ ↗
← N 42.212245°
E  0.109864°		 ← 226.17 m → N 42.212245°
E  0.112610°		 →
↑
226.17 m
↓
↑
226.17 m
↓
N 42.210211°
E  0.109864°		 ← 226.18 m →
51 154 m²		 N 42.210211°
E  0.112610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48552 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500308990478516 y=0.370426177978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500308990478516 × 217)
    floor (0.500308990478516 × 131072)
    floor (65576.5)     		tx = 65576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.370426177978516 × 217)
    floor (0.370426177978516 × 131072)
    floor (48552.5)     		ty = 48552
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65576 / 48552 ti = "17/65576/48552"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65576/48552.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65576 ÷ 217
    65576 ÷ 131072     		x = 0.50030517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48552 ÷ 217
    48552 ÷ 131072     		y = 0.37042236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50030517578125 × 2 - 1) × π
    0.0006103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.00191748
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37042236328125 × 2 - 1) × π
    0.2591552734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.814160303147034
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00191748} λ = 0.00191748}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.814160303147034))-π/2
    2×atan(2.25727944588645)-π/2
    2×1.15376949476453-π/2
    2.30753898952907-1.57079632675     		φ = 0.73674266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00191748} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.109864°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.73674266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.212245°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65576 KachelY 48552 0.00191748 0.73674266 0.109864 42.212245
    Oben rechts KachelX + 1 65577 KachelY 48552 0.00196541 0.73674266 0.112610 42.212245
    Unten links KachelX 65576 KachelY + 1 48553 0.00191748 0.73670716 0.109864 42.210211
    Unten rechts KachelX + 1 65577 KachelY + 1 48553 0.00196541 0.73670716 0.112610 42.210211
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.73674266-0.73670716) × R
    3.54999999999661e-05 × 6371000     		dl = 226.170499999784m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.73674266-0.73670716) × R
    3.54999999999661e-05 × 6371000     		dr = 226.170499999784m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00191748-0.00196541) × cos(0.73674266) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.740661022161943 × 6371000     		do = 226.169753269245m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00191748-0.00196541) × cos(0.73670716) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.74068487339602 × 6371000     		du = 226.177036530501m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.73674266)-sin(0.73670716))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.740661022161943-0.74068487339602)×R²
    abs(0.00196541-0.00191748)×2.38512340769992e-05×R²
    4.79299999999998e-05×2.38512340769992e-05×6371000²
    4.79299999999998e-05×2.38512340769992e-05×40589641000000     		ar = 51153.7498165845m²