Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65575 / 65590
↖ ↑ ↗
← S  0.148315°
E  0.107117°		 ← 305.42 m → S  0.148315°
E  0.109864°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
S  0.151062°
E  0.107117°		 ← 305.42 m →
93 285 m²		 S  0.151062°
E  0.109864°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65575 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65590 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500301361083984 y=0.500415802001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500301361083984 × 217)
    floor (0.500301361083984 × 131072)
    floor (65575.5)     		tx = 65575
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.500415802001953 × 217)
    floor (0.500415802001953 × 131072)
    floor (65590.5)     		ty = 65590
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65575 / 65590 ti = "17/65575/65590"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65575/65590.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65575 ÷ 217
    65575 ÷ 131072     		x = 0.500297546386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65590 ÷ 217
    65590 ÷ 131072     		y = 0.500411987304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500297546386719 × 2 - 1) × π
    0.0005950927734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.00186954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.500411987304688 × 2 - 1) × π
    -0.000823974609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.00258859257948303
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00186954} λ = 0.00186954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00258859257948303))-π/2
    2×atan(0.997414754937213)-π/2
    2×0.784103868553177-π/2
    1.56820773710635-1.57079632675     		φ = -0.00258859
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00186954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.107117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00258859 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.148315°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65575 KachelY 65590 0.00186954 -0.00258859 0.107117 -0.148315
    Oben rechts KachelX + 1 65576 KachelY 65590 0.00191748 -0.00258859 0.109864 -0.148315
    Unten links KachelX 65575 KachelY + 1 65591 0.00186954 -0.00263653 0.107117 -0.151062
    Unten rechts KachelX + 1 65576 KachelY + 1 65591 0.00191748 -0.00263653 0.109864 -0.151062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00258859--0.00263653) × R
    4.79400000000002e-05 × 6371000     		dl = 305.425740000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00258859--0.00263653) × R
    4.79400000000002e-05 × 6371000     		dr = 305.425740000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00186954-0.00191748) × cos(-0.00258859) × R
    4.794e-05 × 0.999996649602777 × 6371000     		do = 305.424716702449m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00186954-0.00191748) × cos(-0.00263653) × R
    4.794e-05 × 0.999996524356793 × 6371000     		du = 305.424678449102m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00258859)-sin(-0.00263653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999996649602777-0.999996524356793)×R²
    abs(0.00191748-0.00186954)×1.25245983917388e-07×R²
    4.794e-05×1.25245983917388e-07×6371000²
    4.794e-05×1.25245983917388e-07×40589641000000     		ar = 93284.5642892239m²