Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65575 / 43366
↖ ↑ ↗
← N 51.879882°
E  0.107117°		 ← 188.54 m → N 51.879882°
E  0.109864°		 →
↑
188.52 m
↓
↑
188.52 m
↓
N 51.878187°
E  0.107117°		 ← 188.55 m →
35 544 m²		 N 51.878187°
E  0.109864°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65575 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43366 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500301361083984 y=0.330860137939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500301361083984 × 217)
    floor (0.500301361083984 × 131072)
    floor (65575.5)     		tx = 65575
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330860137939453 × 217)
    floor (0.330860137939453 × 131072)
    floor (43366.5)     		ty = 43366
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65575 / 43366 ti = "17/65575/43366"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65575/43366.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65575 ÷ 217
    65575 ÷ 131072     		x = 0.500297546386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43366 ÷ 217
    43366 ÷ 131072     		y = 0.330856323242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500297546386719 × 2 - 1) × π
    0.0005950927734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.00186954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330856323242188 × 2 - 1) × π
    0.338287353515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.06276106457664
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00186954} λ = 0.00186954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06276106457664))-π/2
    2×atan(2.89435145818659)-π/2
    2×1.23813554244375-π/2
    2.47627108488751-1.57079632675     		φ = 0.90547476
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00186954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.107117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90547476 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.879882°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65575 KachelY 43366 0.00186954 0.90547476 0.107117 51.879882
    Oben rechts KachelX + 1 65576 KachelY 43366 0.00191748 0.90547476 0.109864 51.879882
    Unten links KachelX 65575 KachelY + 1 43367 0.00186954 0.90544517 0.107117 51.878187
    Unten rechts KachelX + 1 65576 KachelY + 1 43367 0.00191748 0.90544517 0.109864 51.878187
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90547476-0.90544517) × R
    2.95900000000238e-05 × 6371000     		dl = 188.517890000151m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90547476-0.90544517) × R
    2.95900000000238e-05 × 6371000     		dr = 188.517890000151m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00186954-0.00191748) × cos(0.90547476) × R
    4.794e-05 × 0.617312147128607 × 6371000     		do = 188.543019347744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00186954-0.00191748) × cos(0.90544517) × R
    4.794e-05 × 0.617335425853405 × 6371000     		du = 188.550129269491m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90547476)-sin(0.90544517))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.617312147128607-0.617335425853405)×R²
    abs(0.00191748-0.00186954)×2.32787247981259e-05×R²
    4.794e-05×2.32787247981259e-05×6371000²
    4.794e-05×2.32787247981259e-05×40589641000000     		ar = 35544.4023579536m²