Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65574 / 65593
↖ ↑ ↗
← S  0.156555°
E  0.104370°		 ← 305.42 m → S  0.156555°
E  0.107117°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
S  0.159302°
E  0.104370°		 ← 305.42 m →
93 285 m²		 S  0.159302°
E  0.107117°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65574 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65593 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500293731689453 y=0.500438690185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500293731689453 × 217)
    floor (0.500293731689453 × 131072)
    floor (65574.5)     		tx = 65574
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.500438690185547 × 217)
    floor (0.500438690185547 × 131072)
    floor (65593.5)     		ty = 65593
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65574 / 65593 ti = "17/65574/65593"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65574/65593.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65574 ÷ 217
    65574 ÷ 131072     		x = 0.500289916992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65593 ÷ 217
    65593 ÷ 131072     		y = 0.500434875488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500289916992188 × 2 - 1) × π
    0.000579833984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.00182160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.500434875488281 × 2 - 1) × π
    -0.0008697509765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0027324032783432
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00182160} λ = 0.00182160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0027324032783432))-π/2
    2×atan(0.997271326337783)-π/2
    2×0.78403196345829-π/2
    1.56806392691658-1.57079632675     		φ = -0.00273240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00182160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.104370°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00273240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.156555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65574 KachelY 65593 0.00182160 -0.00273240 0.104370 -0.156555
    Oben rechts KachelX + 1 65575 KachelY 65593 0.00186954 -0.00273240 0.107117 -0.156555
    Unten links KachelX 65574 KachelY + 1 65594 0.00182160 -0.00278034 0.104370 -0.159302
    Unten rechts KachelX + 1 65575 KachelY + 1 65594 0.00186954 -0.00278034 0.107117 -0.159302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00273240--0.00278034) × R
    4.79400000000002e-05 × 6371000     		dl = 305.425740000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00273240--0.00278034) × R
    4.79400000000002e-05 × 6371000     		dr = 305.425740000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00182160-0.00186954) × cos(-0.00273240) × R
    4.794e-05 × 0.999996266997443 × 6371000     		do = 305.424599844931m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00182160-0.00186954) × cos(-0.00278034) × R
    4.794e-05 × 0.999996134857232 × 6371000     		du = 305.42455948591m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00273240)-sin(-0.00278034))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999996266997443-0.999996134857232)×R²
    abs(0.00186954-0.00182160)×1.32140210551412e-07×R²
    4.794e-05×1.32140210551412e-07×6371000²
    4.794e-05×1.32140210551412e-07×40589641000000     		ar = 93284.5282763663m²