Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65573 / 43205
↖ ↑ ↗
← N 52.152029°
E  0.101624°		 ← 187.36 m → N 52.152029°
E  0.104370°		 →
↑
187.37 m
↓
↑
187.37 m
↓
N 52.150344°
E  0.101624°		 ← 187.37 m →
35 107 m²		 N 52.150344°
E  0.104370°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65573 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43205 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500286102294922 y=0.329631805419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500286102294922 × 217)
    floor (0.500286102294922 × 131072)
    floor (65573.5)     		tx = 65573
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329631805419922 × 217)
    floor (0.329631805419922 × 131072)
    floor (43205.5)     		ty = 43205
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65573 / 43205 ti = "17/65573/43205"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65573/43205.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65573 ÷ 217
    65573 ÷ 131072     		x = 0.500282287597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43205 ÷ 217
    43205 ÷ 131072     		y = 0.329627990722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500282287597656 × 2 - 1) × π
    0.0005645751953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.00177367
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329627990722656 × 2 - 1) × π
    0.340744018554688 × 3.1415926535     		Φ = 1.07047890541547
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00177367} λ = 0.00177367}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07047890541547))-π/2
    2×atan(2.9167760253828)-π/2
    2×1.24051047461487-π/2
    2.48102094922975-1.57079632675     		φ = 0.91022462
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00177367} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.101624°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91022462 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.152029°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65573 KachelY 43205 0.00177367 0.91022462 0.101624 52.152029
    Oben rechts KachelX + 1 65574 KachelY 43205 0.00182160 0.91022462 0.104370 52.152029
    Unten links KachelX 65573 KachelY + 1 43206 0.00177367 0.91019521 0.101624 52.150344
    Unten rechts KachelX + 1 65574 KachelY + 1 43206 0.00182160 0.91019521 0.104370 52.150344
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91022462-0.91019521) × R
    2.94100000000075e-05 × 6371000     		dl = 187.371110000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91022462-0.91019521) × R
    2.94100000000075e-05 × 6371000     		dr = 187.371110000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00177367-0.00182160) × cos(0.91022462) × R
    4.79300000000001e-05 × 0.613568395677285 × 6371000     		do = 187.360490847859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00177367-0.00182160) × cos(0.91019521) × R
    4.79300000000001e-05 × 0.613591618770778 × 6371000     		du = 187.367582298831m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91022462)-sin(0.91019521))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.613568395677285-0.613591618770778)×R²
    abs(0.00182160-0.00177367)×2.32230934926747e-05×R²
    4.79300000000001e-05×2.32230934926747e-05×6371000²
    4.79300000000001e-05×2.32230934926747e-05×40589641000000     		ar = 35106.6075093487m²