Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65569 / 65499
↖ ↑ ↗
← N  0.101623°
E  0.090637°		 ← 305.36 m → N  0.101623°
E  0.093384°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
N  0.098877°
E  0.090637°		 ← 305.36 m →
93 246 m²		 N  0.098877°
E  0.093384°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65569 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65499 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500255584716797 y=0.499721527099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500255584716797 × 217)
    floor (0.500255584716797 × 131072)
    floor (65569.5)     		tx = 65569
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499721527099609 × 217)
    floor (0.499721527099609 × 131072)
    floor (65499.5)     		ty = 65499
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65569 / 65499 ti = "17/65569/65499"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65569/65499.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65569 ÷ 217
    65569 ÷ 131072     		x = 0.500251770019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65499 ÷ 217
    65499 ÷ 131072     		y = 0.499717712402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500251770019531 × 2 - 1) × π
    0.0005035400390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.00158192
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.499717712402344 × 2 - 1) × π
    0.0005645751953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.00177366528594208
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00158192} λ = 0.00158192}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00177366528594208))-π/2
    2×atan(1.00177523916059)-π/2
    2×0.78628499557544-π/2
    1.57256999115088-1.57079632675     		φ = 0.00177366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00158192} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.090637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00177366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.101623°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65569 KachelY 65499 0.00158192 0.00177366 0.090637 0.101623
    Oben rechts KachelX + 1 65570 KachelY 65499 0.00162985 0.00177366 0.093384 0.101623
    Unten links KachelX 65569 KachelY + 1 65500 0.00158192 0.00172573 0.090637 0.098877
    Unten rechts KachelX + 1 65570 KachelY + 1 65500 0.00162985 0.00172573 0.093384 0.098877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00177366-0.00172573) × R
    4.79300000000001e-05 × 6371000     		dl = 305.36203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00177366-0.00172573) × R
    4.79300000000001e-05 × 6371000     		dr = 305.36203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00158192-0.00162985) × cos(0.00177366) × R
    4.79300000000001e-05 × 0.999998427065515 × 6371000     		do = 305.361549685533m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00158192-0.00162985) × cos(0.00172573) × R
    4.79300000000001e-05 × 0.999998510928353 × 6371000     		du = 305.36157529406m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00177366)-sin(0.00172573))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999998427065515-0.999998510928353)×R²
    abs(0.00162985-0.00158192)×8.38628385624318e-08×R²
    4.79300000000001e-05×8.38628385624318e-08×6371000²
    4.79300000000001e-05×8.38628385624318e-08×40589641000000     		ar = 93245.8266237071m²