Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65564 / 48556
↖ ↑ ↗
← N 42.204107°
E  0.076904°		 ← 226.25 m → N 42.204107°
E  0.079651°		 →
↑
226.23 m
↓
↑
226.23 m
↓
N 42.202073°
E  0.076904°		 ← 226.25 m →
51 185 m²		 N 42.202073°
E  0.079651°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48556 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500217437744141 y=0.370456695556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500217437744141 × 217)
    floor (0.500217437744141 × 131072)
    floor (65564.5)     		tx = 65564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.370456695556641 × 217)
    floor (0.370456695556641 × 131072)
    floor (48556.5)     		ty = 48556
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65564 / 48556 ti = "17/65564/48556"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65564/48556.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65564 ÷ 217
    65564 ÷ 131072     		x = 0.500213623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48556 ÷ 217
    48556 ÷ 131072     		y = 0.370452880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500213623046875 × 2 - 1) × π
    0.00042724609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.00134223
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.370452880859375 × 2 - 1) × π
    0.25909423828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.813968555548554
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00134223} λ = 0.00134223}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.813968555548554))-π/2
    2×atan(2.2568466594678)-π/2
    2×1.15369848020446-π/2
    2.30739696040892-1.57079632675     		φ = 0.73660063
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00134223} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.076904°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.73660063 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.204107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65564 KachelY 48556 0.00134223 0.73660063 0.076904 42.204107
    Oben rechts KachelX + 1 65565 KachelY 48556 0.00139017 0.73660063 0.079651 42.204107
    Unten links KachelX 65564 KachelY + 1 48557 0.00134223 0.73656512 0.076904 42.202073
    Unten rechts KachelX + 1 65565 KachelY + 1 48557 0.00139017 0.73656512 0.079651 42.202073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.73660063-0.73656512) × R
    3.55100000000164e-05 × 6371000     		dl = 226.234210000104m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.73660063-0.73656512) × R
    3.55100000000164e-05 × 6371000     		dr = 226.234210000104m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00134223-0.00139017) × cos(0.73660063) × R
    4.794e-05 × 0.740756441650654 × 6371000     		do = 226.246084350918m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00134223-0.00139017) × cos(0.73656512) × R
    4.794e-05 × 0.740780295867443 × 6371000     		du = 226.253370042733m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.73660063)-sin(0.73656512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.740756441650654-0.740780295867443)×R²
    abs(0.00139017-0.00134223)×2.38542167892986e-05×R²
    4.794e-05×2.38542167892986e-05×6371000²
    4.794e-05×2.38542167892986e-05×40589641000000     		ar = 51185.42830043m²