Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65563 / 65498
↖ ↑ ↗
← N  0.104370°
E  0.074158°		 ← 305.36 m → N  0.104370°
E  0.076904°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
N  0.101623°
E  0.074158°		 ← 305.36 m →
93 265 m²		 N  0.101623°
E  0.076904°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65563 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65498 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500209808349609 y=0.499713897705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500209808349609 × 217)
    floor (0.500209808349609 × 131072)
    floor (65563.5)     		tx = 65563
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499713897705078 × 217)
    floor (0.499713897705078 × 131072)
    floor (65498.5)     		ty = 65498
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65563 / 65498 ti = "17/65563/65498"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65563/65498.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65563 ÷ 217
    65563 ÷ 131072     		x = 0.500205993652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65498 ÷ 217
    65498 ÷ 131072     		y = 0.499710083007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500205993652344 × 2 - 1) × π
    0.0004119873046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.00129430
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.499710083007812 × 2 - 1) × π
    0.000579833984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.00182160218556213
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00129430} λ = 0.00129430}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00182160218556213))-π/2
    2×atan(1.0018232623107)-π/2
    2×0.786308963986521-π/2
    1.57261792797304-1.57079632675     		φ = 0.00182160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00129430} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.074158°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00182160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.104370°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65563 KachelY 65498 0.00129430 0.00182160 0.074158 0.104370
    Oben rechts KachelX + 1 65564 KachelY 65498 0.00134223 0.00182160 0.076904 0.104370
    Unten links KachelX 65563 KachelY + 1 65499 0.00129430 0.00177366 0.074158 0.101623
    Unten rechts KachelX + 1 65564 KachelY + 1 65499 0.00134223 0.00177366 0.076904 0.101623
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00182160-0.00177366) × R
    4.794e-05 × 6371000     		dl = 305.42574m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00182160-0.00177366) × R
    4.794e-05 × 6371000     		dr = 305.42574m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00129430-0.00134223) × cos(0.00182160) × R
    4.79300000000001e-05 × 0.999998340887179 × 6371000     		do = 305.361523369941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00129430-0.00134223) × cos(0.00177366) × R
    4.79300000000001e-05 × 0.999998427065515 × 6371000     		du = 305.361549685533m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00182160)-sin(0.00177366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999998340887179-0.999998427065515)×R²
    abs(0.00134223-0.00129430)×8.61783358008239e-08×R²
    4.79300000000001e-05×8.61783358008239e-08×6371000²
    4.79300000000001e-05×8.61783358008239e-08×40589641000000     		ar = 93265.2732793831m²