Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65559 / 44599
↖ ↑ ↗
← N 49.740457°
E  0.063171°		 ← 197.38 m → N 49.740457°
E  0.065918°		 →
↑
197.37 m
↓
↑
197.37 m
↓
N 49.738682°
E  0.063171°		 ← 197.39 m →
38 959 m²		 N 49.738682°
E  0.065918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44599 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500179290771484 y=0.340267181396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500179290771484 × 217)
    floor (0.500179290771484 × 131072)
    floor (65559.5)     		tx = 65559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340267181396484 × 217)
    floor (0.340267181396484 × 131072)
    floor (44599.5)     		ty = 44599
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65559 / 44599 ti = "17/65559/44599"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65559/44599.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65559 ÷ 217
    65559 ÷ 131072     		x = 0.500175476074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44599 ÷ 217
    44599 ÷ 131072     		y = 0.340263366699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500175476074219 × 2 - 1) × π
    0.0003509521484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.00110255
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340263366699219 × 2 - 1) × π
    0.319473266601562 × 3.1415926535     		Φ = 1.00365486734512
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00110255} λ = 0.00110255}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00365486734512))-π/2
    2×atan(2.72823496556706)-π/2
    2×1.21946553341182-π/2
    2.43893106682365-1.57079632675     		φ = 0.86813474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00110255} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.063171°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86813474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.740457°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65559 KachelY 44599 0.00110255 0.86813474 0.063171 49.740457
    Oben rechts KachelX + 1 65560 KachelY 44599 0.00115049 0.86813474 0.065918 49.740457
    Unten links KachelX 65559 KachelY + 1 44600 0.00110255 0.86810376 0.063171 49.738682
    Unten rechts KachelX + 1 65560 KachelY + 1 44600 0.00115049 0.86810376 0.065918 49.738682
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86813474-0.86810376) × R
    3.09800000000138e-05 × 6371000     		dl = 197.373580000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86813474-0.86810376) × R
    3.09800000000138e-05 × 6371000     		dr = 197.373580000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00110255-0.00115049) × cos(0.86813474) × R
    4.794e-05 × 0.646251096868097 × 6371000     		do = 197.38171948675m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00110255-0.00115049) × cos(0.86810376) × R
    4.794e-05 × 0.646274738165481 × 6371000     		du = 197.388940147498m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86813474)-sin(0.86810376))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646251096868097-0.646274738165481)×R²
    abs(0.00115049-0.00110255)×2.36412973833033e-05×R²
    4.794e-05×2.36412973833033e-05×6371000²
    4.794e-05×2.36412973833033e-05×40589641000000     		ar = 38958.6491886488m²