Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65557 / 44597
↖ ↑ ↗
← N 49.744007°
E  0.057678°		 ← 197.37 m → N 49.744007°
E  0.060425°		 →
↑
197.37 m
↓
↑
197.37 m
↓
N 49.742232°
E  0.057678°		 ← 197.37 m →
38 956 m²		 N 49.742232°
E  0.060425°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65557 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44597 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500164031982422 y=0.340251922607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500164031982422 × 217)
    floor (0.500164031982422 × 131072)
    floor (65557.5)     		tx = 65557
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340251922607422 × 217)
    floor (0.340251922607422 × 131072)
    floor (44597.5)     		ty = 44597
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65557 / 44597 ti = "17/65557/44597"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65557/44597.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65557 ÷ 217
    65557 ÷ 131072     		x = 0.500160217285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44597 ÷ 217
    44597 ÷ 131072     		y = 0.340248107910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500160217285156 × 2 - 1) × π
    0.0003204345703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.00100667
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340248107910156 × 2 - 1) × π
    0.319503784179688 × 3.1415926535     		Φ = 1.00375074114436
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00100667} λ = 0.00100667}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00375074114436))-π/2
    2×atan(2.7284965443575)-π/2
    2×1.21949651155251-π/2
    2.43899302310502-1.57079632675     		φ = 0.86819670
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00100667} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.057678°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86819670 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.744007°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65557 KachelY 44597 0.00100667 0.86819670 0.057678 49.744007
    Oben rechts KachelX + 1 65558 KachelY 44597 0.00105461 0.86819670 0.060425 49.744007
    Unten links KachelX 65557 KachelY + 1 44598 0.00100667 0.86816572 0.057678 49.742232
    Unten rechts KachelX + 1 65558 KachelY + 1 44598 0.00105461 0.86816572 0.060425 49.742232
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86819670-0.86816572) × R
    3.09800000000138e-05 × 6371000     		dl = 197.373580000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86819670-0.86816572) × R
    3.09800000000138e-05 × 6371000     		dr = 197.373580000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00100667-0.00105461) × cos(0.86819670) × R
    4.794e-05 × 0.646203812412615 × 6371000     		do = 197.367277596944m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00100667-0.00105461) × cos(0.86816572) × R
    4.794e-05 × 0.646227454950468 × 6371000     		du = 197.374498636563m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86819670)-sin(0.86816572))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646203812412615-0.646227454950468)×R²
    abs(0.00105461-0.00100667)×2.36425378530303e-05×R²
    4.794e-05×2.36425378530303e-05×6371000²
    4.794e-05×2.36425378530303e-05×40589641000000     		ar = 38955.7987785011m²