Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65550 / 43298
↖ ↑ ↗
← N 51.995028°
E  0.038452°		 ← 188.02 m → N 51.995028°
E  0.041199°		 →
↑
188.07 m
↓
↑
188.07 m
↓
N 51.993337°
E  0.038452°		 ← 188.03 m →
35 362 m²		 N 51.993337°
E  0.041199°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65550 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43298 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500110626220703 y=0.330341339111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500110626220703 × 217)
    floor (0.500110626220703 × 131072)
    floor (65550.5)     		tx = 65550
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330341339111328 × 217)
    floor (0.330341339111328 × 131072)
    floor (43298.5)     		ty = 43298
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65550 / 43298 ti = "17/65550/43298"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65550/43298.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65550 ÷ 217
    65550 ÷ 131072     		x = 0.500106811523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43298 ÷ 217
    43298 ÷ 131072     		y = 0.330337524414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500106811523438 × 2 - 1) × π
    0.000213623046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.00067112
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330337524414062 × 2 - 1) × π
    0.339324951171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.06602077375081
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00067112} λ = 0.00067112}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06602077375081))-π/2
    2×atan(2.90380159617097)-π/2
    2×1.2391403818108-π/2
    2.47828076362159-1.57079632675     		φ = 0.90748444
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00067112} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.038452°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90748444 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.995028°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65550 KachelY 43298 0.00067112 0.90748444 0.038452 51.995028
    Oben rechts KachelX + 1 65551 KachelY 43298 0.00071905 0.90748444 0.041199 51.995028
    Unten links KachelX 65550 KachelY + 1 43299 0.00067112 0.90745492 0.038452 51.993337
    Unten rechts KachelX + 1 65551 KachelY + 1 43299 0.00071905 0.90745492 0.041199 51.993337
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90748444-0.90745492) × R
    2.95199999998941e-05 × 6371000     		dl = 188.071919999325m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90748444-0.90745492) × R
    2.95199999998941e-05 × 6371000     		dr = 188.071919999325m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00067112-0.00071905) × cos(0.90748444) × R
    4.79300000000001e-05 × 0.615729849518147 × 6371000     		do = 188.020516780456m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00067112-0.00071905) × cos(0.90745492) × R
    4.79300000000001e-05 × 0.615753109750215 × 6371000     		du = 188.027619572139m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90748444)-sin(0.90745492))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.615729849518147-0.615753109750215)×R²
    abs(0.00071905-0.00067112)×2.32602320674458e-05×R²
    4.79300000000001e-05×2.32602320674458e-05×6371000²
    4.79300000000001e-05×2.32602320674458e-05×40589641000000     		ar = 35362.0475105212m²