Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65543 / 43189
↖ ↑ ↗
← N 52.178985°
E  0.019226°		 ← 187.29 m → N 52.178985°
E  0.021973°		 →
↑
187.24 m
↓
↑
187.24 m
↓
N 52.177301°
E  0.019226°		 ← 187.29 m →
35 069 m²		 N 52.177301°
E  0.021973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43189 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500057220458984 y=0.329509735107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500057220458984 × 217)
    floor (0.500057220458984 × 131072)
    floor (65543.5)     		tx = 65543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329509735107422 × 217)
    floor (0.329509735107422 × 131072)
    floor (43189.5)     		ty = 43189
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65543 / 43189 ti = "17/65543/43189"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65543/43189.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65543 ÷ 217
    65543 ÷ 131072     		x = 0.500053405761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43189 ÷ 217
    43189 ÷ 131072     		y = 0.329505920410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500053405761719 × 2 - 1) × π
    0.0001068115234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.00033556
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329505920410156 × 2 - 1) × π
    0.340988159179688 × 3.1415926535     		Φ = 1.07124589580939
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00033556} λ = 0.00033556}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07124589580939))-π/2
    2×atan(2.919014022727)-π/2
    2×1.240745703898-π/2
    2.481491407796-1.57079632675     		φ = 0.91069508
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00033556} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.019226°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91069508 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.178985°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65543 KachelY 43189 0.00033556 0.91069508 0.019226 52.178985
    Oben rechts KachelX + 1 65544 KachelY 43189 0.00038350 0.91069508 0.021973 52.178985
    Unten links KachelX 65543 KachelY + 1 43190 0.00033556 0.91066569 0.019226 52.177301
    Unten rechts KachelX + 1 65544 KachelY + 1 43190 0.00038350 0.91066569 0.021973 52.177301
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91069508-0.91066569) × R
    2.9390000000018e-05 × 6371000     		dl = 187.243690000115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91069508-0.91066569) × R
    2.9390000000018e-05 × 6371000     		dr = 187.243690000115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00033556-0.00038350) × cos(0.91069508) × R
    4.794e-05 × 0.613196833012226 × 6371000     		do = 187.286096488415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00033556-0.00038350) × cos(0.91066569) × R
    4.794e-05 × 0.613220048794539 × 6371000     		du = 187.293187185908m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91069508)-sin(0.91066569))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.613196833012226-0.613220048794539)×R²
    abs(0.00038350-0.00033556)×2.3215782313124e-05×R²
    4.794e-05×2.3215782313124e-05×6371000²
    4.794e-05×2.3215782313124e-05×40589641000000     		ar = 35068.8036389799m²