Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65542 / 43190
↖ ↑ ↗
← N 52.177301°
E  0.016479°		 ← 187.29 m → N 52.177301°
E  0.019226°		 →
↑
187.31 m
↓
↑
187.31 m
↓
N 52.175616°
E  0.016479°		 ← 187.30 m →
35 082 m²		 N 52.175616°
E  0.019226°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65542 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43190 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500049591064453 y=0.329517364501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500049591064453 × 217)
    floor (0.500049591064453 × 131072)
    floor (65542.5)     		tx = 65542
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329517364501953 × 217)
    floor (0.329517364501953 × 131072)
    floor (43190.5)     		ty = 43190
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65542 / 43190 ti = "17/65542/43190"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65542/43190.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65542 ÷ 217
    65542 ÷ 131072     		x = 0.500045776367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43190 ÷ 217
    43190 ÷ 131072     		y = 0.329513549804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500045776367188 × 2 - 1) × π
    9.1552734375e-05 × 3.1415926535     		Λ = 0.00028762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329513549804688 × 2 - 1) × π
    0.340972900390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.07119795890977
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00028762} λ = 0.00028762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07119795890977))-π/2
    2×atan(2.91887409759862)-π/2
    2×1.24073100624223-π/2
    2.48146201248446-1.57079632675     		φ = 0.91066569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00028762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.016479°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91066569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.177301°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65542 KachelY 43190 0.00028762 0.91066569 0.016479 52.177301
    Oben rechts KachelX + 1 65543 KachelY 43190 0.00033556 0.91066569 0.019226 52.177301
    Unten links KachelX 65542 KachelY + 1 43191 0.00028762 0.91063629 0.016479 52.175616
    Unten rechts KachelX + 1 65543 KachelY + 1 43191 0.00033556 0.91063629 0.019226 52.175616
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91066569-0.91063629) × R
    2.93999999999572e-05 × 6371000     		dl = 187.307399999728m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91066569-0.91063629) × R
    2.93999999999572e-05 × 6371000     		dr = 187.307399999728m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00028762-0.00033556) × cos(0.91066569) × R
    4.794e-05 × 0.613220048794539 × 6371000     		do = 187.293187185908m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00028762-0.00033556) × cos(0.91063629) × R
    4.794e-05 × 0.613243271946111 × 6371000     		du = 187.300280134162m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91066569)-sin(0.91063629))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.613220048794539-0.613243271946111)×R²
    abs(0.00033556-0.00028762)×2.32231515717718e-05×R²
    4.794e-05×2.32231515717718e-05×6371000²
    4.794e-05×2.32231515717718e-05×40589641000000     		ar = 35082.0642128224m²