Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65538 / 44634
↖ ↑ ↗
← N 49.678292°
E  0.005493°		 ← 197.63 m → N 49.678292°
E  0.008240°		 →
↑
197.63 m
↓
↑
197.63 m
↓
N 49.676515°
E  0.005493°		 ← 197.64 m →
39 059 m²		 N 49.676515°
E  0.008240°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65538 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44634 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500019073486328 y=0.340534210205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500019073486328 × 217)
    floor (0.500019073486328 × 131072)
    floor (65538.5)     		tx = 65538
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340534210205078 × 217)
    floor (0.340534210205078 × 131072)
    floor (44634.5)     		ty = 44634
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65538 / 44634 ti = "17/65538/44634"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65538/44634.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65538 ÷ 217
    65538 ÷ 131072     		x = 0.500015258789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44634 ÷ 217
    44634 ÷ 131072     		y = 0.340530395507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500015258789062 × 2 - 1) × π
    3.0517578125e-05 × 3.1415926535     		Λ = 0.00009587
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340530395507812 × 2 - 1) × π
    0.318939208984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.00197707585841
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00009587} λ = 0.00009587}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00197707585841))-π/2
    2×atan(2.72366139399071)-π/2
    2×1.21892304900913-π/2
    2.43784609801827-1.57079632675     		φ = 0.86704977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00009587} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.005493°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86704977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.678292°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65538 KachelY 44634 0.00009587 0.86704977 0.005493 49.678292
    Oben rechts KachelX + 1 65539 KachelY 44634 0.00014381 0.86704977 0.008240 49.678292
    Unten links KachelX 65538 KachelY + 1 44635 0.00009587 0.86701875 0.005493 49.676515
    Unten rechts KachelX + 1 65539 KachelY + 1 44635 0.00014381 0.86701875 0.008240 49.676515
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86704977-0.86701875) × R
    3.10200000001037e-05 × 6371000     		dl = 197.628420000661m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86704977-0.86701875) × R
    3.10200000001037e-05 × 6371000     		dr = 197.628420000661m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00009587-0.00014381) × cos(0.86704977) × R
    4.794e-05 × 0.647078683891752 × 6371000     		do = 197.634485865864m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00009587-0.00014381) × cos(0.86701875) × R
    4.794e-05 × 0.647102333948922 × 6371000     		du = 197.641709202077m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86704977)-sin(0.86701875))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647078683891752-0.647102333948922)×R²
    abs(0.00014381-0.00009587)×2.36500571707543e-05×R²
    4.794e-05×2.36500571707543e-05×6371000²
    4.794e-05×2.36500571707543e-05×40589641000000     		ar = 39058.9049507697m²