Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65537 / 44634
↖ ↑ ↗
← N 49.678292°
E  0.002747°		 ← 197.59 m → N 49.678292°
E  0.005493°		 →
↑
197.63 m
↓
↑
197.63 m
↓
N 49.676515°
E  0.002747°		 ← 197.60 m →
39 051 m²		 N 49.676515°
E  0.005493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65537 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44634 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500011444091797 y=0.340534210205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500011444091797 × 217)
    floor (0.500011444091797 × 131072)
    floor (65537.5)     		tx = 65537
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340534210205078 × 217)
    floor (0.340534210205078 × 131072)
    floor (44634.5)     		ty = 44634
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65537 / 44634 ti = "17/65537/44634"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65537/44634.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65537 ÷ 217
    65537 ÷ 131072     		x = 0.500007629394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44634 ÷ 217
    44634 ÷ 131072     		y = 0.340530395507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500007629394531 × 2 - 1) × π
    1.52587890625e-05 × 3.1415926535     		Λ = 0.00004794
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340530395507812 × 2 - 1) × π
    0.318939208984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.00197707585841
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00004794} λ = 0.00004794}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00197707585841))-π/2
    2×atan(2.72366139399071)-π/2
    2×1.21892304900913-π/2
    2.43784609801827-1.57079632675     		φ = 0.86704977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00004794} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.002747°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86704977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.678292°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65537 KachelY 44634 0.00004794 0.86704977 0.002747 49.678292
    Oben rechts KachelX + 1 65538 KachelY 44634 0.00009587 0.86704977 0.005493 49.678292
    Unten links KachelX 65537 KachelY + 1 44635 0.00004794 0.86701875 0.002747 49.676515
    Unten rechts KachelX + 1 65538 KachelY + 1 44635 0.00009587 0.86701875 0.005493 49.676515
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86704977-0.86701875) × R
    3.10200000001037e-05 × 6371000     		dl = 197.628420000661m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86704977-0.86701875) × R
    3.10200000001037e-05 × 6371000     		dr = 197.628420000661m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00004794-0.00009587) × cos(0.86704977) × R
    4.793e-05 × 0.647078683891752 × 6371000     		do = 197.593260482914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00004794-0.00009587) × cos(0.86701875) × R
    4.793e-05 × 0.647102333948922 × 6371000     		du = 197.600482312381m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86704977)-sin(0.86701875))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647078683891752-0.647102333948922)×R²
    abs(0.00009587-0.00004794)×2.36500571707543e-05×R²
    4.793e-05×2.36500571707543e-05×6371000²
    4.793e-05×2.36500571707543e-05×40589641000000     		ar = 39050.7574945847m²